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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo alle zusammen,
ich versuche 2 Aufgaben zu lösen.
1) Für eine beschränkte reelle Zahlenfolge [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] definiere
[mm] b_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}(a_{1}+...+a_{n}, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1. Dann gilt:
[mm] \underline{\limes}_{n\rightarrow\infty} a_{n} \le \underline{\limes}_{n\rightarrow\infty} b_{n} \le \overline{\limes}_{n\rightarrow\infty} b_{n} \le \overline{\limes}_{n\rightarrow\infty} a_{n}
[/mm]
Ich kann euch hier die Definitionen vom Inferior und Superior herunterschreiben, aber leider kann nicht damit nicht rechnen :(
2) Über diese Aufgabe habe ich mich zuerst gefreut, weil ich endlich mal eine konkrete Zahl gesehen habe, aber sie ist wohl schwieriger als sie aussieht:
Die reellen Zahlenfolgen [mm] (x_{n}), (y_{n}) [/mm] und [mm] (z_{n}) [/mm] seien gegeben durch:
[mm] x_{n}= \wurzel{n+1000}-\wurzel{n}
[/mm]
[mm] y_{n}=\wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n} [/mm] und
[mm] z_{n}=\wurzel{n+ \bruch{n}{1000}}- \wurzel{n}
[/mm]
Für 1 [mm] \le [/mm] n < 1000000 ist [mm] x_{n} [/mm] > [mm] y_{n} [/mm] > [mm] z_{n}, [/mm] aber für die Grenzwerte gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = 0, [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} y_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] während [mm] z_{n} [/mm] gar unbeschränkt ist.
Ich weiß, ich muss wieder mit N in Abhängigkeit von [mm] \varepsilon [/mm] arbeiten, aber irgendwie finde ich keinen Ansatz.
Bitte um eure Hilfe!! Danke schon mal. Sinus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:20 Di 29.11.2005 | | Autor: | saxneat |
Tach sinus!
zu [mm] x_{n} [/mm] dritte binomische Formel nutzen führt zu:
[mm] x_{n}=\bruch{n+1000-n}{\wurzel{n+1000}+\wurzel{n}}=\bruch{1000}{\wurzel{n+1000}+\wurzel{n}}
[/mm]
von dort dürfte alles klar sein
zu [mm] y_{n}
[/mm]
setze [mm] n=a^{2}
[/mm]
wenn lim [mm] n\to\infty [/mm] dann auch lim [mm] a\to\infty
[/mm]
gesucht ist also
[mm] lim_{a\to\infty}\wurzel{a^{2}+\wurzel{a^{2}}}+\wurzel{a^{2}}
[/mm]
dann das selbe Verfahren wie bei [mm] x_{n}
[/mm]
zu [mm] z_{n}
[/mm]
das selbe Verfahren wie bei [mm] x_{n}
[/mm]
nutze aus das [mm] n+\bruch{n}{1000}=n(1+\bruch{1}{1000} [/mm] ist dann kannst [mm] \wurzel{n} [/mm] im Nenner ausklammern deweiteren gilt :
[mm] \bruch{n}{\wurzel{n}}=\wurzel{n}
[/mm]
alles klar?
mfG
saxneat
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Di 29.11.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo Saxneat,
danke für die Hinweise zur 2. Aufgabe. Du hattest Recht, es war ein Tippfehler von mir.
Kannst du mir noch Tipps zur 1. Aufg. geben?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:05 Do 01.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Sinus
[mm] b_{n}\le min_{i=1 to n}(ai); b_{n}\ge max_{i=1 to n}(ai); [/mm]
Gruss leduart
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 12:02 Do 01.12.2005 | | Autor: | BettinaP |
Hallo.
Ich würde mich auch sehr über einen konkreten hinweis zu Aufgabe 1 freuen. Rechne da jetzt schon seit Stunden herum komme aber nicht auf den richtigen weg.
Würde mich freuen, und vielen Dank schonmal
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