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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Mi 02.05.2007 | | Autor: | spektrum |
| Aufgabe | [mm] F_{+}(T) [/mm] sei die Menge aller positiven Funktionen x:T [mm] \to [/mm] R (T eine beliebige nichtleere menge). in [mm] F_{+}(T) [/mm] definieren wir eine SUmme [mm] x\oplus [/mm] y und ein Vielfaches a [mm] \odot [/mm] x (a aus R) durch
[mm] x\oplus [/mm] y = xy und a [mm] \odot x=x^{a}
[/mm]
zeige: dass [mm] F_{+}(T) [/mm] mit [mm] \odot [/mm] und [mm] \oplus [/mm] ein reeller vektorraum ist.
Was bedeutet lineare unabhängigkeit in [mm] F_{+}(T)? [/mm] |
guten abend!
ich habe ein paar fragen zu dieser aufgabe und wäre sehr dankbar für ein paar tipps!
dass es ein vektorraum ist, dazu muss ich ja nur die axiome nachprüfen.
das klappt auch ganz gut, aber bei einem axiom bin ich mir nicht so sicher:
(V4) zu jedem x gibt es ein element -x, so dass x+(-x)=0
hier in diesem fall schreibe ich also
x [mm] \oplus(-x) [/mm] = x(-x) = 0 [mm] \gdw [/mm] (-x)=0 ist.
also sowas wie das nullelement.
(das richtige nullelement ist hier 1)
sehe ich das so richtig??
das zweite ist die lineare unabhängigkeit:
das bedeutet ja grundsätzlich dass
[mm] a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n} [/mm] =0, [mm] \Rightarrow [/mm] alle [mm] a_{i}= [/mm] 0
hier wäre das ja das glecihe wie:
[mm] a_{1}\odot x_{1} \oplus a_{2}\odot x_{2} \oplus...\oplus a_{n}\odot x_{n} [/mm] = [mm] x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}...x_{n}^{a_{n}}=0
[/mm]
und das ist dann erfüllt, wenn die [mm] x_{i} [/mm] gleich 0 sind, oder nur eines, oder etwa ganz etwas anderes???
wäre euch dankbar für ein paar tipps!
lg spektrum
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> [mm]F_{+}(T)[/mm] sei die Menge aller positiven Funktionen x:T [mm]\to[/mm] R
> (T eine beliebige nichtleere menge). in [mm]F_{+}(T)[/mm] definieren
> wir eine SUmme [mm]x\oplus[/mm] y und ein Vielfaches a [mm]\odot[/mm] x (a
> aus R) durch
> [mm]x\oplus[/mm] y = xy und a [mm]\odot x=x^{a}[/mm]
>
> zeige: dass [mm]F_{+}(T)[/mm] mit [mm]\odot[/mm] und [mm]\oplus[/mm] ein reeller
> vektorraum ist.
> Was bedeutet lineare unabhängigkeit in [mm]F_{+}(T)?[/mm]
> guten abend!
>
> ich habe ein paar fragen zu dieser aufgabe und wäre sehr
> dankbar für ein paar tipps!
>
> dass es ein vektorraum ist, dazu muss ich ja nur die axiome
> nachprüfen.
> das klappt auch ganz gut, aber bei einem axiom bin ich mir
> nicht so sicher:
>
> (V4) zu jedem x gibt es ein element -x, so dass x+(-x)=0
>
> hier in diesem fall schreibe ich also
> x [mm]\oplus(-x)[/mm] = x(-x) = 0 [mm]\gdw[/mm] (-x)=0 ist.
> also sowas wie das nullelement.
> (das richtige nullelement ist hier 1)
>
> sehe ich das so richtig??
Hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher, ob Du diesen Vektorraum richtig verstanden hast.
Bist Du Dir darüber im Klaren, daß es sich bei den Elementen Deines Vektorraumes um Funktionen handelt? Hast Du das beim Zeigen der übrigen Axiome bedacht?
> (das richtige nullelement ist hier 1)
Das Nullelelement ist die Funktion n: T --> [mm] \IR
[/mm]
mit n(x):=1.
Du willst nun die Frage klären ob jedes Element aus [mm] F_{+}(T) [/mm] ein Inverses hat.
Zu vorgegebenem [mm] f\in F_{+}(T) [/mm] suchst Du also ein [mm] i_f \in F_{+}(T) [/mm] mit
[mm] f\oplus i_f=n=f*i_f.
[/mm]
Was bedeutet das? Du suchst eine positive Funktion [mm] i_f [/mm] so, daß für alle x [mm] \in [/mm] T gilt [mm] n(x)=f(x)i_f(x).
[/mm]
Ich hoffe, daß Du jetzt weiterkommst.
> [mm]a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}[/mm] =0, [mm]\Rightarrow[/mm] alle
> [mm]a_{i}=[/mm] 0
> hier wäre das ja das glecihe wie:
> [mm]a_{1}\odot x_{1} \oplus a_{2}\odot x_{2} \oplus...\oplus a_{n}\odot x_{n}[/mm]
> = [mm]x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}...x_{n}^{a_{n}}=0[/mm]
Auch hier gilt das oben Gesagte: Du hast es mit Funktionen zu tun!
MIR vereinfacht es den Denkprozeß sehr, wenn man sie statt mit [mm] x_1,.., x_n [/mm] lieber mit [mm] f_1,..., f_n [/mm] bezeichnet.
Dann mußt Du natürlich nicht die Zahl 0 einsetzen, sondern das neutrale Element Deines Vektorraumes.
Du mußt also nachdenken über
[mm]a_{1}\odot f_{1} \oplus a_{2}\odot f_{2} \oplus...\oplus a_{n}\odot f_{n}[/mm]=n
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:55 Fr 04.05.2007 | | Autor: | spektrum |
hallo angela!
vielen dank für deine antwort!
ich habe hier wohl tatsächlich etwas falsch verstanden...
und werde noch einmal darüber nachdenken!!
vielen dank!
lg anitram
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