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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 So 01.06.2008 | | Autor: | verkackt |
| Aufgabe | | Zeigen Sie , dass C[a, b] nicht reflexiv ist. |
Hi,
Ich brauch dringen Hilfe zur Bearbeitung dieser Aufgabe. Ich weiß, dass Reflexivität des linearen normierten Raum E heißt, dass E=E´´, wobei E´´ der Bidualraum von E ist. Die Elemente von E´´ sind die auf E´definierte Funktionale und die Elemente von E´ sind die auf E definierte Funktionale.
Also kann man vielleicht (C[a,b])´´ und (C[a,b]) betrachten und ein Element finden, das in einem vorhenden ist im anderen aber nicht.
Ich weiß leider nicht, wie der Dualraum von C[a,b] aussehen soll.Oder soll ich irgendeinen bestimmten Satz zur Hilfe nehmen?
Wäre sehr dankbar für die Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 So 01.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen Sie , dass C[a, b] nicht reflexiv ist.
> Hi,
> Ich brauch dringen Hilfe zur Bearbeitung dieser Aufgabe.
> Ich weiß, dass Reflexivität des linearen normierten Raum E
> heißt, dass E=E´´, wobei E´´ der Bidualraum von E ist. Die
> Elemente von E´´ sind die auf E´definierte Funktionale und
> die Elemente von E´ sind die auf E definierte Funktionale.
> Also kann man vielleicht (C[a,b])´´ und (C[a,b])
> betrachten und ein Element finden, das in einem vorhenden
> ist im anderen aber nicht.
> Ich weiß leider nicht, wie der Dualraum von C[a,b]
> aussehen soll.Oder soll ich irgendeinen bestimmten Satz zur
> Hilfe nehmen?
Tipp: Der Dualraum eines normierten Raumes ist ein Banachraum.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 So 01.06.2008 | | Autor: | verkackt |
Vielen vielen Dank für die schnelle Antwort.Ich kann aber leider damit nichts anfangen.Ich weiß, dass ein Banachraum ein vollständiger normierter Raum ist, der dann reflexiv ist, wenn sein Dualraum es ist.Und das ist ja mein Problen, dass ich nicht weiß, wie der Dualraum aussieht.Das es der raum der definnierten linearen Funktionale auf C[a,b]ist ist mir schon klar aber damit kann cih ebenso wenig anfangen.
ich hab grad irgendwo gelesen, dass Reflexivität bedeutet, dass die Abbildung
F: C[a,b] [mm] \to [/mm] (C[a,b])´´ surj. ist.Aber hier hab ich auch das alte Problem.
Wäre super, wenn du mir dazu was sagen könntest.
Lg. V.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 So 01.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Vielen vielen Dank für die schnelle Antwort.Ich kann aber
> leider damit nichts anfangen.Ich weiß, dass ein Banachraum
> ein vollständiger normierter Raum ist,
Was folgt daraus für den Bidualraum von $C([a,b])$?
Ist $C([a,b])$ ein Banachraum?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:05 So 01.06.2008 | | Autor: | verkackt |
Wenn der Raum C[a,b] nicht vollständig wäre, dann könnte man doch deinen Tipp anwenden.Aber hier wurde keine Norm definiert und C[a,b ] ist beispielweise mit der Max-Norm ein Banachraum.Oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 So 01.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Wenn der Raum C[a,b] nicht vollständig wäre, dann könnte
> man doch deinen Tipp anwenden.Aber hier wurde keine Norm
> definiert und C[a,b ] ist beispielweise mit der Max-Norm
> ein Banachraum.Oder?
Exakt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 So 01.06.2008 | | Autor: | verkackt |
Hi Felix und alle andere,
> Exakt.
Was meinst du damit?
Da C[a,b] doch ein vollständiger raum sein kann, weiß ich nicht, wie ich den Tipp von rainerS verstehen soll.Weiß du vielleicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 So 01.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> > Exakt.
> Was meinst du damit?
dass dein Argument stimmt. Deswegen hab ich deine urspruengliche Frage auch wieder auf unbeantwortet gestellt.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:10 Mo 02.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Wir gehen davon aus , E = C[a,b] mit der Maximumnorm versehen ist, damit ist E ein Banachraum.
Ohne Kenntnis von E' wird die (schwere) Aufgabe nicht zu lösen sein.
Daher vemute ich, dass Ihr das in der Vorlesung hattet, schau noch mal nach.
Es gilt folgendes (ich hoffe Ihr hattet das):
ein reflexiver Banachraum ist schwach folgenvollständig.
Zurück zu E (wir können a=0 und b=1 annehmen)
setze fn(t) = 1-nt für t zwischen 0 und 1/n
und fn(t) = 0 für t zwischen 1/n und 1
Damit hast Du in E eine schwache Cauchyfolge (fn), die aber nicht schwach gegen eine stetige Funktion konvergiert. E kann also nicht reflexiv sein.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:47 Mo 02.06.2008 | | Autor: | verkackt |
Danke dir für deine Lösung. Aber, wir hatten das alles noch nicht.Hab das ganze Skript 2 mal durchgelesen.Wir hatten weder schwach folgenvollständig noch E´ Definition.nur eine Definition von Konvexität und ein ganz am Ende schwach Konvergenz. Tja, anscheind hat sich der Dotzent sich schon wieder geirrt.
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