reflexivität usw < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Fr 25.08.2006 | | Autor: | stefy |
| Aufgabe | also ich verstehe hier bei der definition der äquivalenzrelation die einzelnen punkte leider nicht so genau wäre dankbar für jede hilfe eure stefy also hier :
1. [mm] \forall [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] M x [mm] \sim [/mm] x Reflexivität ????
2. x [mm] \sim [/mm] y [mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \sim [/mm] x Symmetrie ??
3. x [mm] \sim [/mm] y [mm] \wedge [/mm] y [mm] \sim [/mm] z [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \sim [/mm] z Transitivität ??
kann mir jemand die bedeutung der einzelnen punkte vllt erkären ? ??
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Hallo,
das ist gar nicht so schwer:
Reflexivität:
Jedes Element der Menge M erfüllt diese Relation mit sich selbst.
Am Beispiel:
Sei [mm] M=\IR [/mm] und "=" unsere Relation. Dann ist "=" reflexiv, weil [mm] \forall x\in\IR [/mm] gilt: x=x
Andere Beispiele wären z.B. [mm] \geq, \leq.
[/mm]
Für natürliche Zahlen ohne die Null ist z.B. die Teilbarkeitsrelation reflexiv, weil jede Zahl sich selbst teilt.
Nicht reflexiv sind [mm] \not=, [/mm] <, >.
Symmetrie:
Man kann die beiden Elemente x und y vertauschen und die Relation gilt immer noch.
Das typische Beispiel ist auch hier "=", weil x=y immer genau dann gilt, wenn auch y=x gilt.
Außerdem: [mm] \not= [/mm] und äähhh, jede Relation, die man mit "... hat dieselbe Eigenschaft wie ..." audrücken kann, z.B. "... hat dasselbe Vorzeichen wie ..."
Transitivität:
Eine sehr nützliche Eigenschaft, die dafür verantwortlich ist, dass man Ungleichungen verketten kann.
Ein Beispiel ist ">" in [mm] \IR:
[/mm]
5 > 4 [mm] \wedge [/mm] 4>3 [mm] \Rightarrow [/mm] 5 > 3.
Außerdem: =, <, [mm] \geq, \leq.
[/mm]
Auch die Teilbarkeit der positiven ganzen Zahlen.
Nicht transitiv ist z.B. [mm] \not=.
[/mm]
Gruß
Martin
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