reguläre Matrix->sym?pos-def? < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo.
Kann mir im Moment keinen Reim auf folgende Aufgabenstellung machen.
Zu zeigen: Ist Matrix A [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] regulär, so ist [mm] AA^T [/mm] symmetrisch und positiv-definit.
Wie gehe ich denn da ran? hat jemand ne idee?
Vielen Dank im voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:15 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Dariiux |
diese Seite kann ich als Nachschlagewerk nur empfehlen http://www.tu-harburg.de/mat/LEHRE/glossar/r.html
bei symetrie wäre zu beweisen, in deinem Fall, dass [mm] AA^t=(AA^t)^t [/mm] ist; bei pos. def. wäre es zB dass alle Eigenwerte >0.
Regularität bedeutet, dass der Rang der Matrix =n, oder, dass bei elementaren Zeilenumformungen keine Nullzeilen entstehen, wenn ich mich recht erinnere.
In der Aufgabe hast du also nur als Voraussetzung, dass die MAtrix regulär ist, ich kann dir allerdings nicht sagen wie weit du schon in der VL bist, und was du deshalb benutzen darfst. ICh sitze auch erst 10 min dran, und hab mir noch keine weiteren Gedanken dazu gemacht =) . Ich hoffe allerdings, dass ich dir einen kleinen Ansatz geben konnte.
|
|
|
| |
|
>
> Zu zeigen: Ist Matrix A [mm]\in \IR^{nxn}[/mm] regulär, so ist [mm]AA^T[/mm]
> symmetrisch und positiv-definit.
Hallo,
daß [mm] AA^T [/mm] symmetrisch ist, ist ja nicht die große Überraschung. Du kannst es recht schnell zeigen, indem Du die die Elemente der Produktmatrix anschaust: [mm] A:=(a_{ik}), A^T:=(b_{kl}), [/mm] multiplizieren und die Transponiertheit ausreizen.
O.k., das hätten wir.
Wenn A regulär ist, ist auch [mm] A^T [/mm] regulär. Entweder ist das eh bekannt, oder Du begründest es mit der Determinante. Vertauschen von Zeilen und Spalten ändert die Det. ja nicht.
So, nun nähern wir uns der pos. Definitheit. Pos. def. meint ja [mm] x^{T}Bx>0 [/mm] f.a. x [mm] \not=0.
[/mm]
Also schauen wir mal [mm] x^{T}(AA^{T})x [/mm] an. Man kann das alles ja als Matrizen auffassen, also assoziativ. Und wie ist das mit [mm] (BC)^T? [/mm] Das ist = [mm] C^TB^T.
[/mm]
So kommst Du auf [mm] x^T(AA^T)x=(A^Tx)^T(A^Tx).
[/mm]
Jetzt ist nur noch zu überlegen, warum das für x [mm] \not=0 [/mm] nicht null ergeben kann. Tip: Regularität.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo.
Vielen Dank für die Antwort.
Symmetrienachweis habe ich geführt. regularität ist nun auch kein Problem mehr.
Nur mit dem Beweis für die Positive-Definitheit komme ich nicht so ganz klar.
Kann mir jemand den nochmal erläutern. Hab immer gemeint ich muss die pos-Def über den ersten Hauptminor > 0 nachweisen?
Danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Jazzy |
HI,
die Definition von positiver Definitheit ist die von Angela gepostete.
Das Verfahren über die Hauptminoren ist nur eine von vielen Möglichkeiten, eine Matrix auf pos.Def. zu prüfen. Mal ist dies, mal das andere angebracht.
Bei Deiner Aufgabe geht es mit der Definition, Angela hat ja schon die Lösung fast komplett gepostet.
Sagen Dir die Begriffe Kern einer Matrix etwas im Zusammenhang mit Regularität?
Gruß,
Jazzy
|
|
|
| |
|
Danke für die Antwort.
Der Kern einer regulären Matrix ist immer ungleich Null. Kein Vektor wird bei der Abbildung auf den Nullvektor abgebildet.
Komm aber trotzdem mit dem Ansatz des Beweises der pos-def nicht so ganz zurecht.
Kann die Schritte nicht ganz nachvollziehen und die unterschiedlichen Definitionen in der Literatur verwirren.
Was ist [mm] (BC)^T [/mm] = [mm] C^T [/mm] * [mm] B^T [/mm] ist mir nicht ganz klar.
wie auch der nächste Schritt mit [mm] x^T(AA^T)x [/mm] = [mm] (A^Tx)^2.
[/mm]
verhak mich irgendwie immer.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Jazzy |
Hi,
also:
Eine Matrix B ist pos.def., falls für alle [mm]x\ne 0[/mm] <x,Bx> [mm]\ne0[/mm] gilt. Wobei die Klammern für das Skalarprodukt stehen.
Wir müssen jetzt für die Matrix [mm]AA^T[/mm] einsetzen. T bedeutet transponieren.
Für das Transponieren gelten Rechenregeln, wie z.B. [mm](AB)^T=B^T C^T.[/mm]
Auch wichtig zu wissen ist, dass man eine Matrix von einer in die andere Seite des Skalaproduktes ziehen kann,wenn man sie transponiert.
Es gilt nämlich mit obigen Bezeichnungen:
[mm]=[/mm] (Das sieht man durch "ausmultiplizieren" und mit Indizes spielen).
Unsere Matrix heisst nun [mm] AA^T. [/mm] Jetzt können wir den ersten Faktor, das A nach links ziehen, indem wir es transponieren, es bleibt
[mm][/mm]. Das soll nun ungleich Null sein, für alle x, die nicht Null sind.
Aber im Skalaprodukt steht links und rechts der gleiche Vektor. Das ist gerade das Betragsquadrats des Vektors.
Also, für welche x ist der Betrag von [mm]A^Tx \ne 0[/mm] ?
Der Betrag wird nur Null, wenn [mm] A^Tx[/mm] der Nullvektor ist. Also, welche x werden durch [mm] A^T [/mm] auf Null geschickt? Nur der Nullvektor, denn die Matrix [mm] A^T [/mm] ist regulär (gleicher Rang wie A, da Zeilenrang gleich Spaltenrang).
Also wird das Skalarprodukt nur Null, wenn x Null ist. Mit anderen Worten es ist immer ungleich Null, wenn x ungleich Null ist, was zu zeigen war!
Gruß,
Jazzy
|
|
|
| |
|
>
> wie auch der nächste Schritt mit [mm]x^T(AA^T)x[/mm] = [mm](A^Tx)^2.[/mm]
Oh. Möglicherweise war dieser Schritt nicht so genial... Genauer: er ist falsch!
Es muß heißen [mm] =(A^Tx)^T(A^Tx) [/mm] sonst kommt man beim Multiplizieren der Matrizen in ernste Schwierigkeiten. Ich werd's gleich korrigieren.
Jazzy hat für mich die Kurve gekratzt mit dem Skalarprodukt... Aber irgendwie ist es so häßlich, plötzlich ein Skalarprodukt auftauchen zu lassen, und mit [mm] (A^Tx)^T(A^Tx) [/mm] braucht man das gar nicht.
Gruß von Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Jazzy |
Ja, das stimmt :) Aber ich hab die Erfahrung gemacht, dass vielen Leuten, die mit Matrizenprodukten nicht so vertraut ist ein Skalarprodukt, welches sie schon in der Schule kennengelernt haben, lieber ist :)
Viele Grüße,
Jazzy
|
|
|
|
