reihe konvergent Partialsumme < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Di 12.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | Es sei f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] eine im Punkt 0 stetige Funktion und es sei [mm] a_n:= [/mm] f(1/n)-f(1/(n+1)) für n [mm] \in \IN. [/mm] Ist die Reihe [mm] \sum_n a_n [/mm] konvergent? (Beweisen oder widerlegen Sie. )
Hinweis: Betrachten Sie die Partialsummen der Reihe. |
Hi,
also aus der Betrachtung der Partialsummen der Reihe bekomme ich für die Reihe:
[mm] \sum_n a_n [/mm] = f(1)-f(1/(n+1))
Das ist ja nun der Wert der Reihe.
Im Limes [mm] n->\infty [/mm] wird dieser ja f(1)-f(0), also müsste doch die Reihe, da f im Punkt 0 stetig ist konvergent sein?!
Grüße,
Benjamin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Di 12.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es sei f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] eine im Punkt 0 stetige Funktion und
> es sei [mm]a_n:=[/mm] f(1/n)-f(1/(n+1)) für n [mm]\in \IN.[/mm] Ist die
> Reihe [mm]\sum_n a_n[/mm] konvergent? (Beweisen oder widerlegen Sie.
> )
>
> Hinweis: Betrachten Sie die Partialsummen der Reihe.
> Hi,
> also aus der Betrachtung der Partialsummen der Reihe
> bekomme ich für die Reihe:
>
> [mm]\sum_n a_n[/mm] = f(1)-f(1/(n+1))
Du meinst sicher: [mm] $\summe_{k=1}^{n}a_k= [/mm] f(1)-f(1/(n+1))$
>
> Das ist ja nun der Wert der Reihe.
> Im Limes [mm]n->\infty[/mm] wird dieser ja f(1)-f(0)
Ja, weil f in 0 stetig ist
FRED
> , also müsste
> doch die Reihe, da f im Punkt 0 stetig ist konvergent
> sein?!
>
> Grüße,
> Benjamin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Di 12.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
also das reicht schon, um die Konvergenz der Reihe zu zeigen?
(bin nur überrascht)
Grüße,
Benjamin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Di 12.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> also das reicht schon, um die Konvergenz der Reihe zu
> zeigen?
>
> (bin nur überrascht)
Ertappt !!! Wenn Du überrascht bist, so hast Du keine Ahnung, was Konvergenz einer Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] bedeutet !!!
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] ist konvergent bedeutet gerade, dass die Folge [mm] (\summe_{k=1}^{n}a_k) [/mm] konvergiert.
FRED
>
> Grüße,
> Benjamin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Di 12.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
ich bin nur überrascht, da es eine alte Klausurafgabe ist, für deren Lösung (die genauso, wie diese aussieht) ich nicht die volle Punktzahl bekommen habe und ich deshalb verunsichert war, ob das denn alles ist, obwohl es klar ist, dass wenn die Reihe konvergiert, die Folge Konvergiert.
Grüße,
benjamin
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Hallo Benjamin,
ich bin auch überrascht. 
Nehmen wir doch mal die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{x-1}.
[/mm]
Offenbar hat sie die geforderte Eigenschaft, sie ist stetig bei x=0.
Und sonst?
Grüße
reverend
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:39 Di 12.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hallo,
sonst weiß ich nicht... Was soll sonst mit der Funktion sein?
Grüße,
benjamin
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> sonst weiß ich nicht... Was soll sonst mit der Funktion
> sein?
Hallo,
funktioniert's denn mit der Funktion? Was kommt denn raus?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Di 12.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hallo,
sorry, was soll rauskommen?
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Die Frage ging an Dich. Eine Gegenfrage zählt hier nicht als Antwort, es sei denn, sie beinhaltet einen Lösungsversuch.
Was ist denn f(1) bei der von mir vorgeschlagenen Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{x-1}? [/mm] Den Wert brauchst Du doch für die Bestimmung von [mm] \lim_{n\to\infty}(f(1)-f(1/n)).
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:14 Mi 13.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hallo,
achso, jetzrt weiß ich was ihr gemeint habt...
also f(1) = [mm] \infty [/mm] und f(1/n) = -1 damit wäre der grenzwert [mm] \infty [/mm] und die reihe würde nicht konvergieren...
Richtig?
Grüße,
Benjamin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:20 Mi 13.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> achso, jetzrt weiß ich was ihr gemeint habt...
>
> also f(1) = [mm]\infty[/mm] und f(1/n) = -1 damit wäre der
> grenzwert [mm]\infty[/mm] und die reihe würde nicht konvergieren...
>
> Richtig?
Nein. Die Funktion f, die reverend genannt hat, erfüllt nicht die Voraussetzungen in Deiner Aufgabe, sie ist nämlich in x=1 nicht def.
Siehe auch: https://matheraum.de/read?i=720542
Fazit: Du hast die Aufgabe richtig gelöst.
FRED
>
> Grüße,
> Benjamin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:12 Mi 13.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Benjamin,
>
> ich bin auch überrascht.
>
> Nehmen wir doch mal die Funktion [mm]f(x)=\bruch{1}{x-1}.[/mm]
>
> Offenbar hat sie die geforderte Eigenschaft, sie ist stetig
> bei x=0.
Nicht ganz !
Oben lautet es:
"...........es sei f: $ [mm] \IR [/mm] $ -> $ [mm] \IR [/mm] $ eine im Punkt 0 stetige Funktion .........."
die Funktion [mm]f(x)=\bruch{1}{x-1}.[/mm] ist zwar in 0 stetig, aber nicht auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert !
FRED
> Und sonst?
>
> Grüße
> reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:32 Mi 13.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Okay.
Danke euch!
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