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| Aufgabe | Berechnen Sie die Werte der folgenden Reihen
[mm] a)\sum_{k=1}^{\infty}{k+m\choose m}^{-1}
[/mm]
[mm] b)\sum_{k=m+1}^{\infty}\bruch{1}{k^2-m^2} [/mm] für [mm] m\in\IN
[/mm]
[mm] c)\sum_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(k+x)(k+1+x)...(k+m+x)} [/mm] |
hallo,
ich komme mit dieser aufgabe nicht klar,die aufgabe ist ja den grenzwert der reihe zu bestimmen.
Ich weiß schon wie man durch die geometrische reihe den grenzwert bestimmen kann,doch die geometrische reihe bringt mir bei dieser aufgabe nix.Wär echt nett wenn jmnd mir helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 So 05.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe-studentin!
Führe eine Partialbruchzerlegung durch. Damit ergibt sich im anschluss eine sogenannte "Teleskopsumme", von der nur wenige Summanden verbleiben.
[mm] $\bruch{1}{k^2-m^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(k+m)*(k-m} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{k+m}+\bruch{B}{k-m}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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1=A*(k+m)+B*(k-m)
wie mache ich dann weiter?
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Hallo mathe-studentin,
> 1=A*(k+m)+B*(k-m)
>
> wie mache ich dann weiter?
Sortiere dies zunächst nach den Potenzen von k.
Vergleiche jetzt die Koeffizienten auf beiden Seiten
vor gleichen Potenzen von k miteinander.
Gruss
MathePower
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das verstehe ich nicht so ganz.kannst du mir vllt aufschreiben und dann so erklären ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 So 05.12.2010 | | Autor: | abakus |
> das verstehe ich nicht so ganz.kannst du mir vllt
> aufschreiben und dann so erklären ?
Lineares Glied: mit k
Absolutes Glied: ohne k
(Zweite, dritte, vierte ... Potenzen von k kommen in dem Term nicht vor.)
Gruß Abakus
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HMM ist das so richtig:
1= (A+B)k +(B-A)m ?????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 So 05.12.2010 | | Autor: | abakus |
> HMM ist das so richtig:
> 1= (A+B)k +(B-A)m ?????
Ja. und da die "1" kein k enthält, musst A+B=0 bzw A=-B gelten.
Das führt auf 1=2*B*m.
Gruß Abakus
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also ist B=1/2 m
und wie komme zu den grenzwert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 So 05.12.2010 | | Autor: | abakus |
> also ist B=1/2 m
Falsch.
B=1/(2*m).
Daraus kannst du auch A ausrechnen. Weiter mit dem Tipp von Loddar.
> und wie komme zu den grenzwert?
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ich meinte auch 1/2*m ,habe falsch aufgeschrieben,da muss A= -1/2*m sein da
A-B=0 ist. aber hier taucht keine teleskopsumme auf,was muss ich jetzt machen da ich jetzt A und B habe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 So 05.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Bitte stelle Rückfragen auch als "Fragen" und nicht nur als "Mitteilung".
Gruß
Loddar
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> ich meinte auch 1/2*m
Hallo,
das darf doch wohl nicht wahr sein!
Erstens ist ein in den Raum geworfener Term sinnlos,
und zweitens ist die Gleichung B=1/2*m ist falsch!
es muß B=1/(2m) heißen.
Das wurde doch bereits gesagt. (?)
> ,habe falsch aufgeschrieben,da muss
> A= -1/2*m sein da
Nein.
A=-1/(2m).
> A-B=0 ist. aber hier taucht keine teleskopsumme auf,was
> muss ich jetzt machen da ich jetzt A und B habe?
Ich weiß nicht genau, was Du Dir unter dem Auftauchen einer Teleskopsumme vorstellst.
Wie lautet die Reihe unter Beachtung der neuesten Erkenntnisse?
1/(2m) kannst Du asuklammern, was steht dann da?
Vielleicht ist es sinnvoll, mal für z.B. m=5 die ersten vierzig Summanden aufzuschreiben. Dann siehst Du sicher die Teleskopsumme.
Gruß v. Angela
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Hallo mathe-studentin,
> das verstehe ich nicht so ganz.kannst du mir vllt
> aufschreiben und dann so erklären ?
Angenommen, Du erhältst die Gleichung
[mm]1=\alpha*k+\beta[/mm]
[mm]\gdw 0*k+1=\alpha*k+\beta[/mm]
Vergleiche links und rechts jeweils das lineare Glied,
d.h. die Koeffizienten vor k. Das liefert:
[mm]0=\alpha[/mm]
Dasselbe machst Du mit den konstanten Gliedern,
d.h. die Koeffizienten ohne k. Das liefert:
[mm]1=\beta[/mm]
Gruss
MathePower
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kommt als ergebnis 1/2 m raus???also der grenzwert ist 1/2 m??
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> kommt als ergebnis 1/2 m raus???
Hallo,
als Ergebnis für was?
> also der grenzwert ist 1/2
> m??
Also Grenzwert der Reihe?
Rechne doch mal vor, was Du Dir überlegt hast.
Das soll doch kein Ratespiel sein hier.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Di 07.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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