www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - rektifizierbaren Kurve
rektifizierbaren Kurve < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

rektifizierbaren Kurve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 Do 28.05.2009
Autor: Lorence

Aufgabe
Berechne die Länge der rektifizierbaren Kurve:

f(t):= [mm] \pmat{a*cos^3(t) \\ a*sin^3(t) } [/mm]

für [mm] 0\le t\le2\pi [/mm]

So, mein Ansatz:

[mm] \integral_{0}^{2\pi}{|f(t)'|dt}=\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel[2]{(3a*cos^2(t)*-sin(t))^2+(3a*sin^2(t)*cos(x))^2}dt} [/mm]

So jetzt habe ich das ausmultipliziert, zusammengefasst und rausgezogen und komme zu

[mm] 3a*\integral_{0}^{2\pi}{cos(t)*sin(t)dt} [/mm]

Eine Stammfunktion ist schnell gefunden:

[mm] 3a*\integral_{0}^{2\pi}{cos(t)*sin(t)dt}=3a*[-\bruch{1}{2}cos^2(x)] [/mm] mit den Grenzen von 0 bis [mm] 2\pi. [/mm]

Wenn ich jetzt die Grenzen einsetze kommt aber leider 0 heraus! Was ja nicht sein kann, da die Länge der Kurve ja schlecht 0 sein kann.
Wenn ich mit Mapple den Betrag von sin(t)cos(t) integriere dann kommt 2 heraus, was auch die Lösung laut Lösungsbuch ist. Wie integriere ich also diesen Ausdruck am besten? Wenn ich die Funktion zeichne dann stelle ich fest, dass die Flächen unterhalb der x-Achse genauso groß sind wie die Fläche oberhalb der x-Achse, im Intervall 0 bis [mm] 2\pi [/mm] zumindestens, ich dachte immer das Integral würde mir die absolute Größe der Fläche wiedergeben und nicht die positive Fläche mit der "negativen" Fläche verrechnen! Oder bin ich total falsch?

Gruß und danke für die Hilfe im vorraus





        
Bezug
rektifizierbaren Kurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:31 Do 28.05.2009
Autor: abakus


> Berechne die Länge der rektifizierbaren Kurve:
>  
> f(t):= [mm]\pmat{a*cos^3(t) \\ a*sin^3(t) }[/mm]
>
> für [mm]0\le t\le2\pi[/mm]
>  So, mein Ansatz:
>  
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{|f(t)'|dt}=\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel[2]{(3a*cos^2(t)*-sin(t))^2+(3a*sin^2(t)*cos(x))^2}dt}[/mm]
>  
> So jetzt habe ich das ausmultipliziert, zusammengefasst und
> rausgezogen und komme zu
>  
> [mm]3a*\integral_{0}^{2\pi}{cos(t)*sin(t)dt}[/mm]

Hallo,
eine Wurzel kann keine negativen Werte haben. Deshalb ist die Umformung zu cos(t)sin(t) (ein Term, der negativ werden kann) keine äquivalente Umformung.
Hier wäre |cos(t)*sin(t)| besser gewesen.

>  
> Eine Stammfunktion ist schnell gefunden:
>  
> [mm]3a*\integral_{0}^{2\pi}{cos(t)*sin(t)dt}=3a*[-\bruch{1}{2}cos^2(x)][/mm]
> mit den Grenzen von 0 bis [mm]2\pi.[/mm]
>
> Wenn ich jetzt die Grenzen einsetze kommt aber leider 0
> heraus! Was ja nicht sein kann, da die Länge der Kurve ja
> schlecht 0 sein kann.
> Wenn ich mit Mapple den Betrag von sin(t)cos(t) integriere
> dann kommt 2 heraus, was auch die Lösung laut Lösungsbuch
> ist. Wie integriere ich also diesen Ausdruck am besten?
> Wenn ich die Funktion zeichne dann stelle ich fest, dass
> die Flächen unterhalb der x-Achse genauso groß sind wie die
> Fläche oberhalb der x-Achse, im Intervall 0 bis [mm]2\pi[/mm]
> zumindestens, ich dachte immer das Integral würde mir die
> absolute Größe der Fläche wiedergeben und nicht die
> positive Fläche mit der "negativen" Fläche verrechnen!

Oh doch, das tut es.
Gruß Abakus

> Oder
> bin ich total falsch?
>  
> Gruß und danke für die Hilfe im vorraus
>  
>
>
>  


Bezug
                
Bezug
rektifizierbaren Kurve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:01 Do 28.05.2009
Autor: Lorence

Ja und wie integriere ich |sin(x)cos(x)| ???

Bezug
                        
Bezug
rektifizierbaren Kurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:10 Do 28.05.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Lorence,

> Ja und wie integriere ich |sin(x)cos(x)| ???

Bestimme mal die NSTen von [mm] $\sin(x)\cos(x)$ [/mm] im gegebenen Intervall [mm] $[0,2\pi]$, [/mm] teile es entsprechend in Teilintervalle auf und integriere von einem Teilintervall zum anderen.

Oder rechne die Länge auf einem Teilintervall auf das ganze Intervall hoch ...

Eine Skizze - etwa mit []Funkyplot - ist da sicher hilfreich ...

LG

schachuzipus


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]