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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Mi 29.09.2004 | | Autor: | psjan |
Hallo alle,
ich wurschtele schon seit einigen Tagen an diesem (wahrscheinlich trivialen) Problem herum. Es kommt aus dem Buch von Krengel "Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik" und dort aus dem §14, ist aber eher Analysis als Wahrscheinlichkeitstheorie. Dort hat man einen Vektor [mm] (\alpha_i)_{i=0,\ldots,b} [/mm] von unbekannten Wahrscheinlichkeiten mit den Randbedingungen [mm] \alpha_0=1 [/mm] und [mm] \alpha_b=0 [/mm] und folgende "Rekursion":
[mm] \alpha_i=p\alpha_{i+1} [/mm] + [mm] q\alpha_{i-1} [/mm] für [mm] 0
wobei [mm]p[/mm] und [mm]q[/mm] zwei Wahrscheinlichkeiten sind mit [mm]p+q=1[/mm].
Jetzt wird gesagt, dass man diese Rekursion durch folgenden Ansatz lösen könne:
[mm]\alpha_i=c+d \left( \bruch{q}{p} \right)^i[/mm]
mit reellen Zahlen [mm]c[/mm] und [mm]d[/mm].
Für [mm]p=q=1/2[/mm] konnte ich eine andere (aber ebenfalls im Krengel genannte) Formel nachrechnen, aber für den anderen Fall mit der oben angebenen Formel hatte ich keinen Erfolg.
Ich habe mal versucht, die ursprüngliche Rekursion in eine "normale" umzurechnen, wo dann [mm] \alpha_i [/mm] von [mm] \alpha_{i-1} [/mm] und [mm] \alpha_{i-2} [/mm] abhängt und diese mal weitergerechnet, aber die Terme wurden immer schlimmer und ich habe nicht gesehen, wie ich dann noch zum Ziel hätte kommen sollen. Auch die ursprüngliche Formel wollte ich mal zu den beiden "Enden" durchlaufen lassen, aber da kam auch irgendwie nix Vernünftigtes raus.
Mich interessiert hier mehr eine Herleitung / Konstruktion der iterativen Version als ein Beweis, der nur die Richtigkeit zeigt.
Vielleicht sieht man das ja ganz einfach *hoff* :)
Für Anregungen bin ich sehr dankbar!
psjan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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mach dich mal frei von den gedanken an wahrscheinlichkeitsrechnung und betrachte die [mm] a_i [/mm] als unbekannte [mm] x_i.
[/mm]
die rekursionsformel [mm]a_i=p*a_{i-1}+q*a_{i+1}[/mm] läßt sich schreiben als
[mm]p*x_{i-1} - 1*x_{i} + q*x_{i+1}=0, i\in\{1,\dots,b-1\} [/mm]
[mm]x_{0}=0, x_{b}=1[/mm]
das gibt ein lineares gleichungssystem, das sich lösen läßt.
versuch es doch mal mit einem solchen ansatz.
dein problem ist ja, dass du im prinzip von keiner seite anfangen kannst und die ausdrücke immer komplizierter werden. genau dasselbe ist der fall, wenn du versuchst, ein LGS zu lösen, indem du eine Unbekannte nach der anderen durch auflösen und wieder einsetzen eliminierst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:21 Do 30.09.2004 | | Autor: | psjan |
Vielen Dank für die schnelle Antwort,
das ist eine gute Idee mit dem LGS. Nur leider komme ich so auf genauso unangenehme Dinge wie bei meinem ersten Ansatz (sie sehen sich sogar verdächtig ähnlich!). Die Antwort von stefan geht da schon eher die Richtung, in der ich mir eine Lösung erhoffe.
Trotzdem vielen Dank für die Anregung, denn es ist immer wichtig, neue Impulse zu bekommen, wenn man sich "festgedacht" hat.
Grüße
psjan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Mi 29.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo psjan!
Ich denke mal, wie man dann auf die Lösung im Krengel kommt, ist klar, oder? Das ist ja nur einsetzen und auflösen.
Was dich interessiert, ist die Tatsache, warum man einen affin-exponentiellen Ansatz wählt.
Nun ja, ich habe mir Folgendes dazu überlegt.
Es gilt wegen $p+q=1$:
$p [mm] \cdot (\alpha_{j+1} [/mm] - [mm] \alpha_j) [/mm] = q [mm] \cdot (\alpha_j [/mm] - [mm] \alpha_{j-1})$.
[/mm]
Summiert man von $j=1$ bis $i-1$, so erhält man:
$p [mm] \cdot (\alpha_i [/mm] - [mm] \alpha_1) [/mm] = q [mm] \cdot (\alpha_{i-1} [/mm] - 1)$.
Daraus folgt:
[mm] $\alpha_i [/mm] - [mm] \alpha_1 [/mm] = [mm] \frac{q}{p} \cdot (\alpha_{i-1} [/mm] - 1)$.
Daran sieht man: Es gibt ein $c$ mit
[mm] $\alpha_i [/mm] - c = [mm] \frac{q}{p} \cdot (\alpha_{i-1} [/mm] -c)$,
und diese Differenzengleichung wird offenbar durch den Ansatz
Dies ist ein Indiz dafür, dass die Differenzengleichung durch
[mm] $\alpha_i [/mm] = d [mm] \cdot \left( \frac{q}{p} \right)^i [/mm] + c$
mit noch unbekannten $c$ und $d$ gelöst wird (für eine genauere Untersuchung betrachte man die Theorie der Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten).
Die unbekannten Koeffizienten $c$ und $d$ erhält man dann durch die Randbedingungen. (Ich nehme mal an, das ist dir dann klar. Oder?)
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Do 30.09.2004 | | Autor: | psjan |
Hallo stefan,
Vielen Dank auch für Deine Antwort. Du hast es genau getroffen. Meine Frage war: Warum ein affin-exponentieller Ansatz? Dein Weg sieht wirklich gut aus, nur habe ich eine kleine Frage dazu:
Der Schritt von der Gleichung
$ [mm] \alpha_i [/mm] - [mm] \alpha_1 [/mm] = [mm] \frac{q}{p} \cdot (\alpha_{i-1} [/mm] - 1) $
zum Schluss, dass es dann ein $c$ gibt mit:
$ [mm] \alpha_i [/mm] - c = [mm] \frac{q}{p} \cdot (\alpha_{i-1} [/mm] -c) $.
Sagst Du damit nicht auch, dass [mm] $c=\alpha_1=1$ [/mm] sein muss? Stimmt das?
Ich sehe aber andererseits, dass man aber genau dieses $c$ auf beiden Seiten der Gleichung braucht (und kein $c'$ auf einer Seite), sonst kommt man mit Deiner neuen Rekursionsgleichung nicht zum Ziel, oder?
Ich hoffe, ich frage hier nicht nach dem _unglaublich_ Offensichtlichen ...
Auf jeden Fall schon mal vielen Dank!
psjan
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Hallo ihr beiden!
Ich möchte versuchen, Stefans Ansatz noch ein wenig weiterzudenken.
Stehen geblieben wart ihr ja im Wesentlichen bei
[mm]\alpha_i - \alpha_1 = \frac{q}{p} \cdot (\alpha_{i-1} - 1).[/mm]
Daraus folgt die Rekursion
[mm]\alpha_i = \frac{q}{p} \cdot \alpha_{i-1} + \alpha_1- \frac{q}{p},\quad i=1,\ldots,b,[/mm]
die von der Form
[mm]\alpha_i = f\cdot \alpha_{i-1} + g[/mm]
ist. Schauen wir uns mal die ersten Glieder an:
[mm] \alpha_1= f\cdot \alpha_0 + g,[/mm]
[mm] \alpha_2= f\cdot \alpha_1 + g=f^2 \alpha_0+fg+g,[/mm]
[mm] \alpha_3= f\cdot \alpha_2 + g=f^3 \alpha_0++f^2g+fg+g,[/mm]
[mm]\vdots[/mm]
[mm]\alpha_i = f^i \alpha_0 + g\sum\limits_{k=0}^{i-1} f^k = f^i \alpha_0 + g\frac{1-f^i}{1-f}
=\left( \alpha_0-\frac{g}{1-f}\right) f^i + \frac{g}{1-f}[/mm]
Daran erkennt man den Ansatz
[mm]\alpha_i = c \left(\frac{q}{p} \right) ^i + d[/mm]
Ich bin jetzt nicht ganz sicher, ob euch das nicht ohnehin schon völlig klar war. Aber der Vollständigkeit halber (und weil die Frage als teilweise beantwortet markiert war) habe ich das mal noch hinzugefügt.
Liebe Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:22 Fr 01.10.2004 | | Autor: | psjan |
Ohmann, danke Euch beiden ...
endlich kann ich weiterlesen ;)
Grüße
psjan
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, da war ich zu voreilig (passte halt so gut 
).
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]"){kind=small}
