rekursiv definierte Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei die Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] rekursiv definiert durch [mm] a_{0} [/mm] := [mm] a_{1} [/mm] := 1, [mm] a_{n+1} [/mm] := [mm] a_{n}+a_{n-1}.
[/mm]
Zeige, dass [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}x^n [/mm] für alle x [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] |x|<\bruch{1}{2} [/mm] konvergiert. |
Hallo!
Wiedereinmal wollte ich gerne meine Rechnung kontrolliert wissen ... 
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] = [mm] |\bruch{a_{n}+a_{n-1}}{a_{n}}| [/mm] = [mm] |\bruch{a_{n}}{a_{n}} [/mm] + [mm] \bruch{a_{n-1}}{a_{n}}| \le |\bruch{a_{n}}{a_{n}} [/mm] + [mm] \bruch{a_{n}}{a_{n}}| [/mm] = |2| [mm] \to [/mm] |2| (n [mm] \to \infty)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Konvergenzradius R = [mm] |\bruch{1}{2}| \Rightarrow [/mm] Beh.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:47 Fr 12.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei die Folge [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] rekursiv definiert durch
> [mm]a_{0}[/mm] := [mm]a_{1}[/mm] := 1, [mm]a_{n+1}[/mm] := [mm]a_{n}+a_{n-1}.[/mm]
> Zeige, dass [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}x^n[/mm] für alle x [mm]\in \IR[/mm]
> mit [mm]|x|<\bruch{1}{2}[/mm] konvergiert.
> Hallo!
>
> Wiedereinmal wollte ich gerne meine Rechnung kontrolliert
> wissen ...
>
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm] = [mm]|\bruch{a_{n}+a_{n-1}}{a_{n}}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{a_{n}}{a_{n}}[/mm] + [mm]\bruch{a_{n-1}}{a_{n}}| \le |\bruch{a_{n}}{a_{n}}[/mm]
> + [mm]\bruch{a_{n}}{a_{n}}|[/mm] = |2| [mm]\to[/mm] |2| (n [mm]\to \infty)[/mm]
Zum obigen [mm] "\le": [/mm] das soltest Du noch begründen [mm] ((a_n) [/mm] ist wachsend, [mm] a_n \ge [/mm] 0, die Beträge kannst Du also weglassen)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Konvergenzradius R = [mm] |\bruch{1}{2}| [/mm]
Nein, Du bekommst nur: R [mm] \ge\bruch{1}{2}
[/mm]
Mehr ist allerdings auch nicht zu zeigen gewesen.
FRED
[mm] \Rightarrow[/mm] [/mm]
> Beh.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:54 Fr 12.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > [mm]\Rightarrow[/mm] Konvergenzradius R = [mm]|\bruch{1}{2}|[/mm]
>
> Nein, Du bekommst nur: R [mm]\ge\bruch{1}{2}[/mm]
Genau. Gleichheit waere hier falsch, da der Konvergenzradius [mm] $\frac{2}{1 + \sqrt{5}} \approx [/mm] 0.618$ ist (siehe ![[]](/images/popup.gif) hier).
LG Felix
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> > Zum obigen [mm]"\le":[/mm] das soltest Du noch begründen [mm]((a_n)[/mm] ist
> wachsend, [mm]a_n \ge[/mm] 0, die Beträge kannst Du also
> weglassen)
Das hatte ich schon "befürchtet"
Die Argumentation wäre doch:
(i) [mm] a_{n} \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] denn:
I.A.(n=1): [mm] a_{1} [/mm] = 1 [mm] \ge [/mm] 0
I.S.(n to n+1): [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] + [mm] a_{n-1}, [/mm] wobei [mm] a_{n} [/mm] und [mm] a_{n-1} \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow a_{n+1} \ge [/mm] 0
(ii) [mm] a_{n+1} \ge a_{n}, [/mm] denn [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] + [mm] a_{n-1}, [/mm] wobei [mm] a_{n-1} \ge [/mm] 0
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] Konvergenzradius R = [mm]|\bruch{1}{2}|[/mm]
>
> Nein, Du bekommst nur: R [mm]\ge\bruch{1}{2}[/mm]
Ups... weil R = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}| \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| \le [/mm] 2 [mm] \Rightarrow [/mm] R [mm] \ge \bruch{1}{2}
[/mm]
> Mehr ist allerdings auch nicht zu zeigen gewesen.
Stimmt ja, weil die Reihe doch für alle x mit |x|<R konvergiert und wenn gilt [mm] R\ge \bruch{1}{2}, [/mm] dann konvergieren alle x mit |x|< [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Fr 12.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > > Zum obigen [mm]"\le":[/mm] das soltest Du noch begründen [mm]((a_n)[/mm]
> ist
> > wachsend, [mm]a_n \ge[/mm] 0, die Beträge kannst Du also
> > weglassen)
>
> Das hatte ich schon "befürchtet"
> Die Argumentation wäre doch:
> (i) [mm]a_{n} \ge[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN,[/mm] denn:
> I.A.(n=1): [mm]a_{1}[/mm] = 1 [mm]\ge[/mm] 0
> I.S.(n to n+1): [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]a_{n}[/mm] + [mm]a_{n-1},[/mm] wobei [mm]a_{n}[/mm] und
> [mm]a_{n-1} \ge[/mm] 0 [mm]\Rightarrow a_{n+1} \ge[/mm] 0
> (ii) [mm]a_{n+1} \ge a_{n},[/mm] denn [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]a_{n}[/mm] + [mm]a_{n-1},[/mm]
> wobei [mm]a_{n-1} \ge[/mm] 0
Ja, so kann man das machen.
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] Konvergenzradius R = [mm]|\bruch{1}{2}|[/mm]
> >
> > Nein, Du bekommst nur: R [mm]\ge\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Ups... weil R = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}| \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| \le[/mm]
> 2 [mm]\Rightarrow[/mm] R [mm]\ge \bruch{1}{2}[/mm]
So sieht's besser aus.
> > Mehr ist allerdings auch nicht zu zeigen gewesen.
>
> Stimmt ja, weil die Reihe doch für alle x mit |x|<R
> konvergiert und wenn gilt [mm]R\ge \bruch{1}{2},[/mm] dann
> konvergieren alle x mit |x|< [mm]\bruch{1}{2},[/mm] oder?
Genau.
LG Felix
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