rekursive Folge < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Sa 06.02.2010 | | Autor: | notinX |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_n)_n [/mm] rekursiv definiert durch
[mm] a_0=1, a_{n+1}=\frac{1+a_n}{2+a_n}
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] a_n\geq\frac{1}{2} [/mm] für alle n und dass [mm] a_n [/mm] monoton fallend ist. Berechnen Sie den Grenzwert. |
Die erste Induktion sollte eigentlich stimmen:
IA: [mm] $a_0=1\geq\frac{1}{2}$
[/mm]
IV: [mm] $a_n\geq\frac{1}{2}$ [/mm] gilt für ein n
z.z.: [mm] $a_{n+1}\geq\frac{1}{2}$ [/mm]
[mm] $n\Rightarrow [/mm] n+1$
[mm] a_{n+1}=\frac{1+a_n}{2+a_n}=\frac{1}{2}+\frac{\overbrace{a_n}^{>0}}{2(2+\underbrace{a_n)}_{>0}}\geq\frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{n}\geq\frac{1}{2} [/mm] für alle n
Aber bei der zweiten (Monotonie) komme ich nicht weiter:
IA: [mm] $a_0=1\geq\frac{2}{3}=a_1$
[/mm]
IV: [mm] $a_n\geq a_{n+1}$ [/mm] gilt für ein n
z.z.: ja was ist hier eigentlich genau zu zeigen?
[mm] $\frac{1+a_n}{2+a_n}\geq\frac{1+a_{n+1}}{2+a_{n+1}}$ [/mm] ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Sa 06.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Sei [mm](a_n)_n[/mm] rekursiv definiert durch
> [mm]a_0=1, a_{n+1}=\frac{1+a_n}{2+a_n}[/mm]
> Zeigen Sie, dass
> [mm]a_n\geq\frac{1}{2}[/mm] für alle n und dass [mm]a_n[/mm] monoton fallend
> ist. Berechnen Sie den Grenzwert.
> Die erste Induktion sollte eigentlich stimmen:
> IA: [mm]a_0=1\geq\frac{1}{2}[/mm]
> IV: [mm]a_n\geq\frac{1}{2}[/mm] gilt für ein n
> z.z.: [mm]a_{n+1}\geq\frac{1}{2}[/mm]
> [mm]n\Rightarrow n+1[/mm]
>
> [mm]a_{n+1}=\frac{1+a_n}{2+a_n}=\frac{1}{2}+\frac{\overbrace{a_n}^{>0}}{2(2+\underbrace{a_n)}_{>0}}\geq\frac{1}{2}$[/mm]
> [mm]\Rightarrow a_{n}\geq\frac{1}{2}[/mm] für alle n
>
>
>
> Aber bei der zweiten (Monotonie) komme ich nicht weiter:
> IA: [mm]a_0=1\geq\frac{2}{3}=a_1[/mm]
> IV: [mm]a_n\geq a_{n+1}[/mm] gilt für ein n
> z.z.: ja was ist hier eigentlich genau zu zeigen?
> [mm]\frac{1+a_n}{2+a_n}\geq\frac{1+a_{n+1}}{2+a_{n+1}}[/mm] ?
>
Hallo,
bilde den Term [mm] a_{n+1}-a_n.
[/mm]
Er ist
[mm] \frac{1+a_n}{2+a_n}-a_n
[/mm]
[mm] =\frac{1+a_n}{2+a_n}-\frac{a_n(2+a_n)}{2+a_n}.
[/mm]
Fasse in einem gleichnamigen Bruch zusammen. Im Zähler steht dann ein Quadratischer Term, von dem nachzuweisen ist, dass es stets negativ ist.
Dazu ist keine Induktion erforderlich.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Di 09.02.2010 | | Autor: | notinX |
Also [mm] $a_n\geq a_{n+1}\Rightarrow a_{n+1}-a_n\leq [/mm] 0$
[mm] $\frac{1+a_n}{2+a_n}-a_n=\frac{1+a_n}{2+a_n}-\frac{a_n(2+a_n)}{2+a_n}=\frac{1-a_n^2-a_n}{2+a_n}$?
[/mm]
Ich weiß allerdings nicht, wie ich zeigen soll, dass das negativ ist.
Aber unabhängig davon: Wie würde man das per Induktion zeigen (auch wenn das nicht nötig ist)?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 Di 09.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Also [mm]a_n\geq a_{n+1}\Rightarrow a_{n+1}-a_n\leq 0[/mm]
>
> [mm]\frac{1+a_n}{2+a_n}-a_n=\frac{1+a_n}{2+a_n}-\frac{a_n(2+a_n)}{2+a_n}=\frac{1-a_n^2-a_n}{2+a_n}[/mm]?
> Ich weiß allerdings nicht, wie ich zeigen soll, dass das
> negativ ist.
Hallo,
im Zähler steht der Term [mm] 1-a_n^2-a_n. [/mm] Den kann man umformen zu [mm] -(a_n+0,5)^2+1,25.
[/mm]
Dieser Term könnte in der Tat auch positiv sein, weil wir bsher nur wissen, dass [mm] a_n>0,5 [/mm] gilt.
Wenn [mm] a_n [/mm] zwischen 0,5 und [mm] \bruch{\wurzel5 -1}{2} [/mm] liegen könnte, wäre der Term positiv.
Die Abschätzung der Folgenglieder müsste also verschärft werden.
Gruß Abakus
>
> Aber unabhängig davon: Wie würde man das per Induktion
> zeigen (auch wenn das nicht nötig ist)?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 Di 09.02.2010 | | Autor: | abakus |
> > Also [mm]a_n\geq a_{n+1}\Rightarrow a_{n+1}-a_n\leq 0[/mm]
> >
> >
> [mm]\frac{1+a_n}{2+a_n}-a_n=\frac{1+a_n}{2+a_n}-\frac{a_n(2+a_n)}{2+a_n}=\frac{1-a_n^2-a_n}{2+a_n}[/mm]?
> > Ich weiß allerdings nicht, wie ich zeigen soll, dass
> das
> > negativ ist.
> Hallo,
> im Zähler steht der Term [mm]1-a_n^2-a_n.[/mm] Den kann man
> umformen zu [mm]-(a_n+0,5)^2+1,25.[/mm]
> Dieser Term könnte in der Tat auch positiv sein, weil wir
> bsher nur wissen, dass [mm]a_n>0,5[/mm] gilt.
> Wenn [mm]a_n[/mm] zwischen 0,5 und [mm]\bruch{\wurzel5 -1}{2}[/mm] liegen
> könnte, wäre der Term positiv.
> Die Abschätzung der Folgenglieder müsste also
> verschärft werden.
> Gruß Abakus
PS: Jetzt habe ich dir ungewollt den Grenzwert verraten.
Gruß Abakus
>
> >
> > Aber unabhängig davon: Wie würde man das per Induktion
> > zeigen (auch wenn das nicht nötig ist)?
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Di 09.02.2010 | | Autor: | notinX |
@Abakus. Ich danke Dir für die Mühe, würde aber nach wie vor gerne wissen, wie man das per Induktion löst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Di 09.02.2010 | | Autor: | abakus |
Hallo,
schreibe [mm] \bruch{1+a_n}{2+a_n} [/mm] in der Form [mm] 1-\bruch{1}{2+a_n}.
[/mm]
Wenn [mm] a_n>a_{n+1} [/mm] (Induktionsvorausetzung) gilt, ist offensichtlich [mm] \bruch{1}{2+a_n}<\bruch{1}{2+a_{n+1}} [/mm] und somit [mm] 1-\bruch{1}{2+a_n}>1-\bruch{1}{2+a_{n+1}}, [/mm] was nichts anderes als [mm] a_{n+1}>a_{n+2} [/mm] bedeutet.
Gruß Abakus
|
|
|
|
