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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Sa 11.12.2010 | | Autor: | UNR8D |
| Aufgabe | | Es sei b [mm] \in [/mm] R, b>0. Weiterhin sei 0< [mm] a_1 [/mm] <1/b und [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] 2a_n [/mm] - [mm] b{a_{n}}^2 [/mm] für [mm] n\in [/mm] N. Zeigen Sie, dass [mm] (a_n [/mm] ) [mm] n\in [/mm] N konvergiert mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = 1/b |
Hi,
wie könnte man das denn angehen?
Kann man vielleicht zeigen, dass [mm] a_n [/mm] nach oben beschränkt ist und monoton steigt?
Daraus könnte man dann ja vmtl recht schnell den Grenzwert "angeben" / beweisen.
Ich bitte um einen kleinen Ansatz :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Sa 11.12.2010 | | Autor: | UNR8D |
Hallo Loddar,
danke für deine Antwort.
Leider hakts jetzt bei der Umsetzung ;)
Mit [mm] a_1 [/mm] < 1/b lässt sich leicht zeigen, dass [mm] a_2 [/mm] < [mm] a_1 [/mm] ist.
Hätte man gezeigt, dass [mm] a_n [/mm] < 1/b allgemein gilt, wäre entsprechend auch die Monotonie kein Problem mehr.
Bei der Beschränktheit wiederrum muss man ja aber irgendwie [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] bzw [mm] a_n [/mm] und [mm] a_n+1 [/mm] abschätzen.
Somit bleibe ich leider irgendwann immer stecken.
Wie fange ich an damit das ganze zum Erfolg führt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Sa 11.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Mit [mm]a_1[/mm] < 1/b lässt sich leicht zeigen, dass [mm]a_2[/mm] < [mm]a_1[/mm] ist.
Ich denke es ist [mm] a_2>a_1 [/mm] also umgekehrt.
> Hätte man gezeigt, dass [mm]a_n[/mm] < 1/b allgemein gilt, wäre
> entsprechend auch die Monotonie kein Problem mehr.
Das die Folge beschränkt und monoton wachsend ist kann man durch Induktion zeigen.
[mm] a_2=2a_1-ba_1^2 [/mm] und [mm] a_1=\br{1}{b}-\epsilon [/mm] mit [mm] \epsilon>0 [/mm] und [mm] \epsilon<\br{1}{b}
[/mm]
Dann folgt [mm] a_2>a_1 [/mm] und [mm] a_2<\br{1}{b}
[/mm]
Den Induktionsschritt kann man genauso zeigen.
> Bei der Beschränktheit wiederrum muss man ja aber
> irgendwie [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] bzw [mm]a_n[/mm] und [mm]a_n+1[/mm] abschätzen.
> Somit bleibe ich leider irgendwann immer stecken.
>
> Wie fange ich an damit das ganze zum Erfolg führt?
Damit ist die Folge konvergent und den Grenzwert ermittelt man aus der Tatsache das [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=x [/mm] gilt. Dies dann in die Definitionsgleichung einsetzen und nach x auflösen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Mo 20.12.2010 | | Autor: | UNR8D |
Im Stress des letzten Wochenendes ganz vergessen mich zu bedanken.
Habs mit eurer Hilfe jedenfalls geschafft, also danke ;)
lg unr8d
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Genau das ist der Weg. Verwende hier z.B. vollständige Induktion.
