rekursive Folge, Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Mo 14.04.2014 | | Autor: | drossel |
Hallo
ich will den Satz "Jede monotone (dh. entweder monoton wachsend oder momoton fallend), beschränkte Folge in [mm] \mathbb{R} [/mm] ist konvergent"
anwenden an einem Beispiel: [mm] a_1:=1, a_{n+1}:=\sqrt{1+a_n}, [/mm] die Konvergenz von [mm] (a_n) [/mm] möchte ich zeigen.
Wenn ich die ersten Folgenglieder mal ausrechne,
[mm] a_1=1, a_2=\sqrt{2}, a_3=\sqrt{1+\sqrt{2}} [/mm] ,.. erkennt man, dass sie wahrscheinlich monoton wachsend ist.
Ich muss hier zeigen, dass die Folge nach oben beschränkt ist und monoton wächst.
Meine erste Frage ist, ob ich auch begründen muss, dass die Folge nach unten beschränkt ist?
Beschränktheit heisst ja eigentlich nach oben und unten beschränkt. Aber wenn sie ja monoton wächst, irgendwo muss sie ja anfangen...
-Ich hab jetzt auch mal nach unten beschränkt, die Behauptung [mm] a_n\ge1 [/mm] für alle [mm] n\in \mathbb{N}, [/mm] gezeigt (versucht):
Induktionsanfang (IA) n=1: [mm] a_1=1\ge [/mm] 1 ist wahr
Induktionsvoraussetzung (IV): Sei [mm] a_n\ge [/mm] 1 für beliebiges, aber festes [mm] n\in \mathbb{N} [/mm] bereits gezeigt
Induktionsschritt (IS) n->n+1: [mm] a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}, [/mm] da [mm] a_n\ge [/mm] 1 nach IV, ist [mm] a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}\ge \sqrt{1+1}\ge [/mm] 1.
-Monoton steigend, zu zeigen: [mm] a_n\le a_{n+1} [/mm] für alle [mm] n\in \mathbb{N}:
[/mm]
IA, n=1: [mm] a_1=1\le a_2=\sqrt{2}
[/mm]
IV: Sei [mm] a_n\le a_{n+1} [/mm] für beliebiges, aber festes [mm] n\in \mathbb{N} [/mm] bereits gezeigt
IS, n->n+1: zu zeigen [mm] a_{n+1}\le a_{n+2} [/mm] für [mm] n\in \mathbb{N}:
[/mm]
[mm] a_{n+2}=\sqrt{1+a_{n+1}} [/mm] nach IV [mm] \ge \sqrt{1+a_n}=a_{n+1}, n\in \mathbb{N}.
[/mm]
Also [mm] (a_n) [/mm] nach unten beschränkt. Und [mm] (a_n) [/mm] monoton steigend, noch zu zeigen ist, dass [mm] (a_n) [/mm] nach oben beschränkt. Ist das bisher so ok ? Ich bin mir leider noch selbst nicht sicher..
Wie kann ich denn nach oben beschränkt zeigen bzw die obere Schranke herausfinden? Ich würde das jetzt so versuchen indem ich annehme, dass [mm] (a_n) [/mm] gegen a konvergiert, dh. es muss gelten [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=a=\sqrt{1+a} [/mm] und die Gleichung lösen [mm] a^2=1+a. [/mm] Erhalte die Nullstellen [mm] a'=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{5}{4}} [/mm] und [mm] a''=\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{5}{4}} [/mm] und würde dann mein a' als obere Schranke nehmen und [mm] a_n\le \frac{1}{2}+\sqrt{\frac{5}{4}} [/mm] für alle [mm] n\in \mathbb{N} [/mm] wieder wie oben mit Induktion zeigen. Darf man das so machen?
Nach dem Satz wäre sie, weil beschränkt und monoton wachsende Folge in [mm] \mathbb{R}, [/mm] konvergent.
Liebe Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Mo 14.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
Deine Ausführungen sind allesamt ganz ausgezeichnet.
Die Beschränktheit nach unten muss tatsächlich nicht gezeigt werden, denn der Satz funktioniert auch in der Form "Eine monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge ...".
Dass die Wurzelfunktion monoton wachsend ist, kann bei den Ungleichungen ohne weitere Erwähnung eingesetzt werden.
> Wie kann ich denn nach oben beschränkt zeigen bzw die obere Schranke herausfinden? Ich würde das jetzt so versuchen indem ich annehme, dass $ [mm] (a_n) [/mm] $ gegen a konvergiert, dh. es muss gelten $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=a=\sqrt{1+a} [/mm] $ und die Gleichung lösen $ [mm] a^2=1+a. [/mm] $ Erhalte die Nullstellen $ [mm] a'=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{5}{4}} [/mm] $ und $ [mm] a''=\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{5}{4}} [/mm] $ und würde dann mein a' als obere Schranke nehmen und $ [mm] a_n\le \frac{1}{2}+\sqrt{\frac{5}{4}} [/mm] $ für alle $ [mm] n\in \mathbb{N} [/mm] $ wieder wie oben mit Induktion zeigen. Darf man das so machen?
Jeder macht das so, aber keiner verrät es.
Du lässt die Zahl a', von der du die Eigenschaft "obere Schranke" (durch Induktion) beweisen wirst, wie eine geniale Eingebung vom Himmel fallen und hütest dich, irgendjemandem zu verraten wie du darauf gekommen bist. Schließlich klappt der Beweis ja (übrigens viel besser als mit irgend einer anderen oberen Schranke (z.B. 10), die für den Satz ja auch ausreichen würde) und das ist Rechtfertigung genug.
Wenn dann also die Konvergenz gezeigt ist, kannst du ganz zum Schluss noch den Grenzwert ausrechnen, genau mit der Überlegung die du oben aufgeschrieben hast.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:17 Di 15.04.2014 | | Autor: | drossel |
Hallo Sax, vielen Dank!
Oh stimmt, das wird aus dem Beweis des Satzes ersichtlich. Wenn man monoton steigend annimmt, dann funktioniert der Beweis mit dem Supremumsaxiom ( nichtleere nach oben beschränkte Teilmengen von [mm] \mathhhb{R} [/mm] besitzen ein Supremum. Also die Vollständigkeit von [mm] \mathbb{R}) [/mm] Bzw nach unten beschränkt bei monoton fallend. Danke. Oh stmmt, ich hätte ja auch irgendeine andere obere Schranke nehmen können ohne die Rechnung, aber wie du geschrieben hast macht man so eine Rechnung spätestens dann, wenn man den Grenzwert wirklich ausrechnen will. Danke.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Di 15.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> ich will den Satz "Jede monotone (dh. entweder monoton
> wachsend oder momoton fallend), beschränkte Folge in
> [mm]\mathbb{R}[/mm] ist konvergent"
> anwenden an einem Beispiel: [mm]a_1:=1, a_{n+1}:=\sqrt{1+a_n},[/mm]
> die Konvergenz von [mm](a_n)[/mm] möchte ich zeigen.
> Wenn ich die ersten Folgenglieder mal ausrechne,
> [mm]a_1=1, a_2=\sqrt{2}, a_3=\sqrt{1+\sqrt{2}}[/mm] ,.. erkennt man,
> dass sie wahrscheinlich monoton wachsend ist.
> Ich muss hier zeigen, dass die Folge nach oben beschränkt
> ist und monoton wächst.
> Meine erste Frage ist, ob ich auch begründen muss, dass
> die Folge nach unten beschränkt ist?
> Beschränktheit heisst ja eigentlich nach oben und unten
> beschränkt. Aber wenn sie ja monoton wächst, irgendwo
> muss sie ja anfangen...
Wenn Du gezeigt hast, dass [mm] (a_n) [/mm] wachsend ist, so ist doch
[mm] a_1 \le a_n [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Damit ist [mm] a_1 [/mm] eine untere Schranke von [mm] (a_n).
[/mm]
>
> -Ich hab jetzt auch mal nach unten beschränkt, die
> Behauptung [mm]a_n\ge1[/mm] für alle [mm]n\in \mathbb{N},[/mm] gezeigt
> (versucht):
> Induktionsanfang (IA) n=1: [mm]a_1=1\ge[/mm] 1 ist wahr
> Induktionsvoraussetzung (IV): Sei [mm]a_n\ge[/mm] 1 für
> beliebiges, aber festes [mm]n\in \mathbb{N}[/mm] bereits gezeigt
> Induktionsschritt (IS) n->n+1: [mm]a_{n+1}=\sqrt{1+a_n},[/mm] da
> [mm]a_n\ge[/mm] 1 nach IV, ist [mm]a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}\ge \sqrt{1+1}\ge[/mm]
> 1.
>
> -Monoton steigend, zu zeigen: [mm]a_n\le a_{n+1}[/mm] für alle [mm]n\in \mathbb{N}:[/mm]
>
> IA, n=1: [mm]a_1=1\le a_2=\sqrt{2}[/mm]
> IV: Sei [mm]a_n\le a_{n+1}[/mm] für
> beliebiges, aber festes [mm]n\in \mathbb{N}[/mm] bereits gezeigt
> IS, n->n+1: zu zeigen [mm]a_{n+1}\le a_{n+2}[/mm] für [mm]n\in \mathbb{N}:[/mm]
>
> [mm]a_{n+2}=\sqrt{1+a_{n+1}}[/mm] nach IV [mm]\ge \sqrt{1+a_n}=a_{n+1}, n\in \mathbb{N}.[/mm]
>
> Also [mm](a_n)[/mm] nach unten beschränkt. Und [mm](a_n)[/mm] monoton
> steigend, noch zu zeigen ist, dass [mm](a_n)[/mm] nach oben
> beschränkt. Ist das bisher so ok ? Ich bin mir leider noch
> selbst nicht sicher..
>
> Wie kann ich denn nach oben beschränkt zeigen bzw die
> obere Schranke herausfinden? Ich würde das jetzt so
> versuchen indem ich annehme, dass [mm](a_n)[/mm] gegen a
> konvergiert, dh. es muss gelten
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=a=\sqrt{1+a}[/mm] und die
> Gleichung lösen [mm]a^2=1+a.[/mm] Erhalte die Nullstellen
> [mm]a'=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{5}{4}}[/mm] und
> [mm]a''=\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{5}{4}}[/mm] und würde dann mein a'
> als obere Schranke nehmen und [mm]a_n\le \frac{1}{2}+\sqrt{\frac{5}{4}}[/mm]
> für alle [mm]n\in \mathbb{N}[/mm] wieder wie oben mit Induktion
> zeigen. Darf man das so machen?
Dazu hat mein Vorredner schon etwas gesagt. mit Deinem obigen a' ist der Induktionsbeweis etwas unbequem.
Mach Dir klar, dass a' [mm] \le [/mm] 2 ist. Dann behaupten wir:
[mm] a_n \le [/mm] 2 für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Der Induktionsschritt ist dann sehr bequem:
[mm] a_{n+1}= \wurzel{1+a_n} \le \wurzel{1+2}= \wurzel{3} \le [/mm] 2.
FRED
>
> Nach dem Satz wäre sie, weil beschränkt und monoton
> wachsende Folge in [mm]\mathbb{R},[/mm] konvergent.
>
> Liebe Grüße
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Di 15.04.2014 | | Autor: | drossel |
Hallo. Ah, ok danke.
Gruß
|
|
|
|
