relative Kompaktheit < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 Di 25.03.2008 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | $H$ unendlich-dimensionaler Hilbertraum, [mm] $\emptyset\neq M\subset [/mm] H$ beschränkte Menge, [mm] $F:\IR\times M\longrightarrow [/mm] H$ stetig in [mm] $\IR$ [/mm] und stetig in $H$. Weiter erfülle die Menge $M$ die folgende Eigenschaft: Für jede beschränkte Menge [mm] $E\subset [/mm] H$ gilt:
[mm] $\exists\,t_0=t_0(E):$ $F(t)E\subset [/mm] M$ [mm] $\forall\,t\geqslant t_0$
[/mm]
Zeige nun:
[mm] $\bigcup_{t\geqslant t_0}F(t)M$ [/mm] ist relativ-kompakt |
Hallo an alle.
Ich habe Schwierigkeiten mit dem Begriff der "relativen Kompaktheit" einer Menge. Speziell benötige ich es für die obige Aufgabe.
Wäre schön, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:33 Mi 26.03.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
es sei $U [mm] \in \IR^n$ [/mm] eine offene Menge. Eine Teilmenge $A [mm] \subset [/mm] U$ heißt relativ kompakt, wenn A beschränkt ist und der Abschluss von A in U enthalten ist, d.h. den Rand von U nicht trifft.
Oder gleichbedeutend damit:
Eine Teilmenge $A [mm] \subset [/mm] U$ heißt relativ kompakt, wenn A beschränkt ist und es ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ gibt,
so dass die [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] von A ganz in U enthalten ist.
Ist das so verständlicher?
LG
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Do 27.03.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
danke für die Hilfe. Den Satz aus meinem ersten Posting gibt es natürlich nicht. Er war eine reine nicht-geltende Erfindung von mir. Für alle die es interessiert: Relative Kompaktheit lässt sich auch wie folgt zeigen:
Sei $X$ ein Hilbertraum und [mm] $Y\subset [/mm] X$ ein in $X$ kompakt eingebetteter Hilbertraum. Dann ist jede beschränkte Menge [mm] $B\subset [/mm] Y$
eine kompakte Menge im Raum $X$ und somit relativ kompakt in $x$.
Möchte ich von einer Teilmenge [mm] $E\subset [/mm] X$ zeigen, dass sie relativ kompakt ist, so muss ich zeigen, dass [mm] $E\subset [/mm] Y$ gilt. Bemerke: Dies ist im allgemeinen jedoch nicht erfüllt.
Gruß an die relative Kompaktheit
P.S. Die Frage kann als beantwortet markiert werden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Do 27.03.2008 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\exists\,t_0=t_0(E):[/mm] [mm]F(t)E\subset M[/mm] [mm]\forall\,t\geqslant t_0[/mm]
Was soll denn [m]F(t)E[/m] sein?
> Ich habe Schwierigkeiten mit dem Begriff der "relativen
> Kompaktheit" einer Menge. Speziell benötige ich es für die
> obige Aufgabe.
Es gibt ![[]](/images/popup.gif) die Definition auf Wikipedia.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 Do 27.03.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> > [mm]\exists\,t_0=t_0(E):[/mm] [mm]F(t)E\subset M[/mm] [mm]\forall\,t\geqslant t_0[/mm]
>
> Was soll denn [m]F(t)E[/m] sein?
Du kannst Dir unter $F(t)$ einen Operator vorstellen, der jede beschränkte Menge $E$ ab einem [mm] $t_0$ [/mm] (abhängig von $E$) vollständig in die Menge $M$ abbildet.
> Es gibt die Definition auf Wikipedia.
>
Ja, das weiß ich auch. Das hilft einem in Sobolevräumen aber herzlich wenig (mir zumindest). Nehme beispielsweise den Raum [mm] $H_0^1(\Omega)$. [/mm] Dieser Raum ist unendlich-dimensional, d.h. es sind eine Reihe toller Sätze nicht mehr anwendbar. Jetzt kannst Du ja mal gerne die relative Kompaktheit einer beschränkten Menge daraus nachweisen. Das funktioniert (meines Erachtens) in der Regel nicht. Weiß ich von der beschränkten Menge jedoch, dass sie in [mm] $H_0^2(\Omega)$ [/mm] liegt, so kann ich wegen dem Einbettungssatz von Rellich (der sagt: [mm] $H_0^2(\Omega)\subset H_0^1(\Omega)$ [/mm] kompakt ) sagen, dass die in [mm] $H_0^2(\Omega)$ [/mm] beschränkte Menge eine in [mm] $H_0^1(\Omega)$ [/mm] kompakte Menge ist und somit relativ kompakt in [mm] $H_0^1(\Omega)$ [/mm] ist.
> SEcki
Gruß
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