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| Aufgabe | Gegeben ist die Matrix Riccati Gleichung
[mm] \frac{dC_t}{dt} [/mm] = [mm] -C_t (DD^T)^{-1} C_t
[/mm]
wobei [mm] C_t [/mm] eine Matrix mit Funktionen abhängig von t ist und D eine Matrix bestehend aus Konstanten.
[mm] X_t:=C_t^{-1} [/mm] soll dann die Lyapunov Gleichung
[mm] \frac{dX_t}{dt} [/mm] = [mm] (DD^T)^{-1}
[/mm]
lösen. (T heißt transponiert) |
Leider weiß ich nicht wie ich da beginnen soll. Wenn ich [mm] C_t^{-1} [/mm] von links und von rechts multipliziere habe ich zwar auf der rechten Seite das, was ich haben will, aber auf der linken ergibt sich mir kein Vorteil. (Wenn das überhaupt gehen sollte)
Dann hätte ich
[mm] -C_t^{-1} \frac{dC_t}{dt} C_t^{-1} [/mm] = [mm] (DD^T)^{-1}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:49 Fr 21.09.2012 | | Autor: | fred97 |
Ich schreibe C(t) statt [mm] C_t [/mm] , X(t) statt [mm] X_t [/mm] und A statt [mm] (DD^T)^{-1}
[/mm]
Jedes C(t) ist invertierbar. Mit [mm] X(t):=C(t)^{-1} [/mm] ist
E=X(t)C(t),
(E = Einheitsmatrix).
Differentiation liefert:
[mm] 0=X'(t)C(t)+X(t)C'(t)=X'(t)C(t)+X(t)(-C(t)AC(t)=X'(t)C(t)+C(t)^{-1}(-C(t)AC(t)=X'(t)C(t)-AC(t).
[/mm]
Multipliziere von rechts mit [mm] C(t)^{-1} [/mm] und Du hast was Du brauchst.
FRED
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