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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:02 Mo 19.05.2014 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | Es sei n [mm] \in \IZ_{\ge1}, [/mm] und es sein R ein nicht notwendigerweise nullteilerfreier K1-Ring.
Zeige: [mm] R[[T_1,...,T_n]]^{\*} [/mm] = [mm] \{\summe a_vT^v; a_0 \in R^{\*}\}
[/mm]
Hinweis: Es genügt multipl. Inverse für Potenzreihen der Dorm f= [mm] \summe a_vT^v [/mm] mit [mm] a_0=1 [/mm] anzugeben.(WArum?) Betrachte dazu die formale unendl. Summe
[mm] g:=\summe_{n=1}^{\infty}(1-f)^n.
[/mm]
Zeige, dass für festes v nur endl. viele [mm] (1-f)^n [/mm] einen nichttrivialen Koeffizienten vor [mm] T^v [/mm] stehen haben. Insb. definiert g ein Element in [mm] R[[T_1,...,T_n]]. [/mm] Zeige nun fg=1 |
hallo zusammen,
Ich weiß nicht so richtig wie ich anfangen soll, und bin daher auf eure hilfe angewissem. könnt ihr mir ein Tipp bzw starthilfe geben.
gruß
knowhow
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 Mo 19.05.2014 | | Autor: | knowhow |
meine idee zu fg=1.
es sei g:= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(1-f)^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-(1-f)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{f}=\bruch{1}{\summe a_vT^v} [/mm] (geometrische Reihe). Dann erhält man für fg= [mm] \summe a_vT^v \cdot \bruch{1}{\summe a_vT^v}=1
[/mm]
darf ich in der algerba die geometrische reihe benutzen?
kann ich es so zeigen?
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> meine idee zu fg=1.
> es sei g:= [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(1-f)^n[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{1-(1-f)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{f}=\bruch{1}{\summe a_vT^v}[/mm]
> (geometrische Reihe). Dann erhält man für fg= [mm]\summe a_vT^v \cdot \bruch{1}{\summe a_vT^v}=1[/mm]
>
> darf ich in der algerba die geometrische reihe benutzen?
> kann ich es so zeigen?
Ja, es geht um die geometrische Reihe, aber du darfst nicht einfach g:= [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(1-f)^n=\bruch{1}{1-(1-f)}[/mm] schreiben, denn die rechte Seite ist ja eventuell gar nicht wohldefiniert. Du musst schon erst nachrechnen, dass $fg=1$ und zwar per Definition der Multiplikation im Potenzreihenring.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:52 Di 20.05.2014 | | Autor: | knowhow |
ok dann versuche ich mal fg=1 per Multiplikation der Potenzreihe zu berechen.
ich habe ein f [mm] \in R[[T_1,...,T_n]]^{\*} [/mm] mit [mm] f=\summe a_vT^v [/mm] und sei [mm] g=\summe b_vT^v \in R[[T_1,...,T_n]] [/mm] dann erhalte
fg= [mm] (\summe a_vT^v) \cdot (\summe b_vT^v)=(a_0+a_1T^1+a_2T^2+...)(b_0+b_1T^1+b_2T^2+...)=a_0b_0+(a_0b_1+b_0a_1)T^1+....=1
[/mm]
man erhalte mit koeffizientenvergleich [mm] a_0b_0=1, [/mm] d.h [mm] a_0 [/mm] und [mm] b_0 [/mm] sind Einheiten.
Ist das richtig wie ich das gemacht habe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 22.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 21.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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