rotationssymmetrische Fkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Sa 07.01.2006 | | Autor: | brain86 |
| Aufgabe | Die Funktion U [mm] \in C^2 [/mm] ( [mm] \mathbb{R}^n [/mm] \ {0}) sei rotationssymmetrisch, d.h. es gelte U( [mm] \vec{x}) [/mm] = u(| [mm] \vec{x}|) [/mm] für alle [mm] \vec{x} \not= [/mm] 0 mit einer Funktion u : [mm] \mathbb{R} [/mm] \ {0} [mm] \rightarrow \mathbb{R}. [/mm] Zeigen Sie
[mm] \Delta U(\vec{x}) [/mm] = u''(r) + [mm] \bruch{n-1}{r} [/mm] u'(r) für alle [mm] \vec{x} \not= [/mm] 0 und r=| [mm] \vec{x}|. [/mm] DRücken sie die partiellen Ableitungen
[mm] \bruch{ \partial}{ \partial x} [/mm] durch die Ableitungen bzgl. des systems (r, \ psi, [mm] \phi [/mm] ) der Kugelkoordinaten aus, und verwenden sie die Unabhängigkeit der Funktion U von [mm] \psi [/mm] und [mm] \phi. [/mm] |
Kann mir jemand bei der lsg. der Aufgabe helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 So 08.01.2006 | | Autor: | kunzm |
Tach,
also irgendwie ist mir etwas unklar was genau Du da machen sollst, aber der Laplaceoperator in Kungelkoordinaten ist:
[mm] $\Delta U\,=\,\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial U}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2 \sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial \vartheta}\left(\sin\vartheta\frac{\partial U}{\partial\vartheta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\vartheta}\frac{\partial^2 U}{\partial \varphi^2}$
[/mm]
Die Unabhängigkeit der Funktion von [mm] $\vartheta,\varphi$ [/mm] würde dann bedeuten, dass eben diese partiellen Ableitungen gleich Null sind. Konkret, nur der erste Summand des Laplaceoperators bleibt auf Deine Funktion anzuwenden.
Vielleicht hilft Dir das etwas weiter.
Grüße, Martin.
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