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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:50 Sa 10.10.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Die Menge der darstellbaren Zahlen in einer Maschiene ist endlich.
Jeden ist die Rundung im Dezimaldarstellung geläufig auf t Stellen:
Sei [mm] x=10^e [/mm] * [mm] 0,x_1 x_2 x_3 [/mm] ... eine Zahl mit [mm] x_1 \not= [/mm] 0
So kann man x runden auf t Dezimalstellen: x'= [mm] \begin{cases} 10^e * 0,x_1 x_2 x_3 ..x_t, & \mbox{für } 0 \le x_{t+1} \le 4\\ 10^e * 0,x_1 x_2 x_3 ..x_t+10^{-t}, & \mbox{für } x_{t+1} \ge 5 \end{cases}
[/mm]
D.h. man erhöht [mm] x_t [/mm] um 1, falls die (t+1)-te Ziffer [mm] x_{t+1} \ge [/mm] 5 ist und schneidet nach der t-en Ziffer ab.
Frage:
Wie funktioniert die Rundung im Binärsystem?(2-adische Darstellung) |
Im Buch steht(https://books.google.at/books?id=-NOsBgAAQBAJ&pg=PA103&hl=de&source=gbs_selected_pages&cad=3#v=onepage&q&f=false) (S.5, die normalisierte Darstellung ist da anders definiert)
Wir nehmen die normalisierte Darstellung d.h.:
[mm] x=2^e [/mm] * [mm] 1,f_1 f_2 f_3 f_4 [/mm] ... mit [mm] f_i \in \{0,1\}
[/mm]
Zur Erklärung: [mm] (1,f_1 f_2 f_3 f_4 ...)_2 [/mm] =(1+ [mm] \sum_{i=0}^\infty f_i 2^{-i})_{10}
[/mm]
x'= [mm] \begin{cases} 2^e * 1,f_1 f_2 f_3 ..f_t, & \mbox{für } f_{t+1}=0\\ 2^e * 1,f_1 f_2 f_3 ..f_t+2^{-t}, & \mbox{für } f_{t+1} =1 \end{cases}
[/mm]
Was passiert hier wenn [mm] f_{t+1}=0 [/mm] ? Ist [mm] f_t+2^{-t} [/mm] nicht falsch aufgeschrieben ? Wenn [mm] f_t=0 [/mm] wird es dann zu 1 und wenn [mm] f_t=1 [/mm] wird es zu 0 oder wie?
LG,
sissi
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> Die Menge der darstellbaren Zahlen in einer Maschine ist
> endlich.
>
> Jeden ist die Rundung im Dezimaldarstellung geläufig auf t
> Stellen:
> Sei [mm]x=10^e[/mm] * [mm]0,x_1 x_2 x_3[/mm] ... eine Zahl mit [mm]x_1 \not=[/mm] 0
> So kann man x runden auf t Dezimalstellen: x'=
> [mm]\begin{cases} 10^e * 0,x_1 x_2 x_3 ..x_t, & \mbox{für } 0 \le x_{t+1} \le 4\\ 10^e * 0,x_1 x_2 x_3 ..x_t+10^{-t}, & \mbox{für } x_{t+1} \ge 5 \end{cases}[/mm]
>
> D.h. man erhöht [mm]x_t[/mm] um 1, falls die (t+1)-te Ziffer
> [mm]x_{t+1} \ge[/mm] 5 ist und schneidet nach der t-en Ziffer ab.
>
> Frage:
> Wie funktioniert die Rundung im Binärsystem?(2-adische
> Darstellung)
> Im Buch
> steht(https://books.google.at/books?id=-NOsBgAAQBAJ&pg=PA103&hl=de&source=gbs_selected_pages&cad=3#v=onepage&q&f=false)
> (S.5, die normalisierte Darstellung ist da anders
> definiert)
>
> Wir nehmen die normalisierte Darstellung d.h.:
> [mm]x=2^e[/mm] * [mm]1,f_1 f_2 f_3 f_4[/mm] ... mit [mm]f_i \in \{0,1\}[/mm]
> Zur
> Erklärung: [mm](1,f_1 f_2 f_3 f_4 ...)_2[/mm] =(1+
> [mm]\sum_{i=0}^\infty f_i 2^{-i})_{10}[/mm]
> x'= [mm]\begin{cases} 2^e * 1,f_1 f_2 f_3 ..f_t, & \mbox{für } f_{t+1}=0\\ 2^e * 1,f_1 f_2 f_3 ..f_t+2^{-t}, & \mbox{für } f_{t+1} =1 \end{cases}[/mm]
>
> Was passiert hier wenn [mm]f_{t+1}=0[/mm] ? Ist [mm]f_t+2^{-t}[/mm] nicht
> falsch aufgeschrieben ? Wenn [mm]f_t=0[/mm] wird es dann zu 1 und
> wenn [mm]f_t=1[/mm] wird es zu 0 oder wie?
Hallo sissi ,
voraus eine kleine Bemerkung zum Unterschied der Bedeutung
von t in den beiden Darstellungen.
Im Fall des Dezimalsystems ist mit t die Anzahl der signifi-
kanten Dezimalstellen insgesamt gemeint, weil ja vor dem
Dezimalkomma eine Null stehen soll.
In der angegebenen Darstellung für das Binärsystem steht
t für die Anzahl der signifikanten Nachkomma-Binärstellen.
Insgesamt haben wir dann (wegen der obligatorischen
führenden 1 vor dem Komma) eigentlich (t+1) signifikante
Binärstellen !
Im Übrigen ist die angegebene Rundungsmethode im Binär-
system schon in Ordnung.
Ist $\ [mm] f_{t+1}\,=\,0$ [/mm] , so wird einfach der ganze "Schwanz" $\ [mm] f_{t+1}\, f_{t+2}\, f_{t+3}\,.....$
[/mm]
weggelassen.
Andernfalls nimmt man als (auf-) gerundeten Wert
$\ [mm] (1,f_{1}\, f_{2}\, f_{3}\,.....\, f_{t})\,+\,2^{-t} [/mm] $ .
(Klammern für Deutlichkeit gesetzt !)
War $\ [mm] f_t\,=\,1$ [/mm] , so führt dies dann zu einer Addition mit
(sich ev. nach vorne fortsetzenden) Überträgen.
Beispiele mit Runden auf insgesamt 5 signifikante Binär-
stellen (also t = 4 !):
1,101101.... [mm] \to [/mm] 1,1011
1,101110.... [mm] \to [/mm] 1,1011+0,0001 = 1,1100
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Sa 10.10.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danke für deine schnelle Antwort!
Wie ist das im Fall: t=2 für 1,111 ?
1,111 [mm] \rightarrow [/mm] 1,11 + 0,01= 10,00 = [mm] 1,00*2^{1}
[/mm]
Würde das so passen?
LG,
sissi
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> Wie ist das im Fall: t=2 für 1,111 ?
> 1,111 [mm]\rightarrow[/mm] 1,11 + 0,01= 10,00 = [mm]1,00*2^{1}[/mm]
> Würde das so passen?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genau !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:58 Sa 10.10.2015 | | Autor: | sissile |
Gut, dann hab ich es verstanden!
Danke und liebe Grüße,
sissi
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