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| Aufgabe 1 | ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
[Bild Nr. 2 (fehlt/gelöscht)] |
| Aufgabe 2 | [Bild Nr. 3 (fehlt/gelöscht)]
[Bild Nr. 4 (fehlt/gelöscht)] |
Hallo liebe Mathegenies :)
Ich befinde mich im 2. Semester Bachelor Informatik und tue mich noch relativ schwer mit dem Studienfach "Lineare Algebra I". Nun müssen wir ein paar Onlineaufgabe abgeben (Multiple-Choice) und einen handschriftlichen Teil.
Ich hab soweit mein Bestes gegeben, um guten Gewissens die Lösungen vorzustellen und würde mich sehr freuen wenn mir diese wer korrigieren könnte. Bislang hab ichs so immer versucht, jedoch fehlen mir bereits jetzt Pkt. um nur an die nötigen 50% zu kommen (falsche Antworten geben Minuspunkte!) und ohne Klausurzulassung , keine Klausur. Das möchte ich auf jeden Fall vermeiden! :)
Die Multiple-Choice Aufgaben sind weitestgehend angekreuzt und die handschriftlichen Dinge werde ich chronologisch zu den obigen Bildern unter "Aufgabe 2" vorstellen:
(in allen Lösungen soll [mm] \phi [/mm] hier das in den Aufgabenstellungen benutzt 'phi' sein, jedoch gibt es das hier nicht, oder ich kenn die richtige Eingabe nicht)
30)
a)
[mm] \phi [/mm] ist Isomorphismus
nach Definition ist [mm] \phi^{-1} [/mm] ist Homomorphismus und damit hat [mm] \phi^{-1} [/mm] auch die Eigenschaften einer linearen Abbildung.
b)
Ist [mm] U\leW [/mm] ,dann ist
[mm] \phi(\phi^{-1}(U))\leU\leW [/mm] , da [mm] \phi^{-1}: [/mm] W [mm] \mapsto [/mm] V gilt
[mm] \Rightarrow \phi^{-1}(U)\le\phi^{-1}(W)\le [/mm] V
[mm] \Rightarrow \phi^{-1}(U)\le [/mm] V
c)
Sei o.B.d.A
[mm] x\in [/mm] , dann gibt es eine Linearkombination
[mm] X=\summe_{i=0}^{|M|}\lambda_{i}v_{i} [/mm] | [mm] \lambda_{i}\inK, v_{i}\inM
[/mm]
Aus den Eigenschaften linearer Abbildungen folgt
[mm] \phi(X)=\phi(\lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{n}v_{n}) [/mm] = [mm] \lambda_{1} \phi(v_{1})+...+\lambda_{n}\phi(v_{n})\in<\phi(M)>
[/mm]
Daher gilt
[mm] \forall x\in\phi() [/mm] | [mm] x\in<\phi(M)>
[/mm]
Es folgt:
[mm] <\phi(M)>=\phi()
[/mm]
d)
Wir nehmen an M wäre nicht l.u. .
Dann gilt:
[mm] \exists x\in [/mm] M | x = [mm] \summe_{i=1}^{|M|-1}\lambda_{i}v_{i} [/mm] , [mm] \lambda_{i}\in [/mm] K , [mm] v_{i}\in [/mm] M \ [mm] \{x\}
[/mm]
Aus den Eigenschaften einer linearen Abb. und der Eindeutigkeit, durch Injektivität, folgt
[mm] |M|=|\phi(M)|
[/mm]
[mm] \phi(x)=\phi(\summe_{i=1}^{|M|-1}\lambda_{i}v_{i}) [/mm] = [mm] \lambda_{1} \phi(v_{1})+...+\lambda_{n}\phi(v_{n})\in\phi(M) [/mm] , [mm] \lambda_{1}\in [/mm] K , [mm] v_{i}\in [/mm] M \ [mm] \{x\}
[/mm]
So würde es eine Linearkombination in [mm] \phi(M) [/mm] geben und [mm] \phi(M) [/mm] wäre nicht l.u. .
Beweis durch Kontraposition. [mm] \Box
[/mm]
e)
Sei B Basis von U so gilt:
|B| = dim(U)
Da [mm] \phi [/mm] injektiv gilt nach Vorlesung
[mm] \phi(B)=B_{\phi} [/mm] ist Basis von [mm] \phi(U)
[/mm]
[mm] |B|=|B_{\phi}| \Rightarrow dim(\phi(U))=|B_{\phi}|=|B|=dim(U)
[/mm]
31)
1)
a)
Zu zeigen ist:
[mm] \phi(X [/mm] + Y) = [mm] \phi(X) [/mm] + [mm] \phi(Y) [/mm] X,Y [mm] \in [/mm] V
[mm] \phi(tX) [/mm] = [mm] t\phi(X) [/mm] t [mm] \in \IR
[/mm]
Sei o.B.d.A.:
[mm] X=\pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] a,b,c,d [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] Y=\pmat{ e & f \\ g & h } [/mm] e,f,g,h [mm] \in \IR
[/mm]
Zeige:
A(X + Y)A = AXA +AYA
= [mm] A\pmat{ a+e & b+f \\ c+g & d+h }A [/mm] = [mm] A\pmat{ a & b \\ c & d }A [/mm] + [mm] A\pmat{ e & f \\ g & h }A
[/mm]
[mm] =\pmat{ c+g & d+h \\ c+g & d+h }A [/mm] = [mm] \pmat{ c & d \\ c & d }A [/mm] + [mm] \pmat{ g & h \\ g & h }A
[/mm]
[mm] =\pmat{ 0 & c+g+d+h \\ 0 & c+g+d+h } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & c+d \\ 0 & c+d } [/mm] + [mm] \pmat{ 0 & g+h \\ 0 & g+h }
[/mm]
[mm] =\pmat{ 0 & c+g+d+h \\ 0 & c+g+d+h }
[/mm]
Zeige:
A(tX)A = t(AXA)
[mm] =A\pmat{ ta & tb \\ tc & td }A [/mm] = [mm] t(\pmat{ c & d \\ c & d }A)
[/mm]
[mm] =\pmat{ tc & td \\ tc & td }A =t\pmat{ 0 & c+d \\ 0 & c+d }
[/mm]
[mm] =\pmat{ 0 & tc+td \\ 0 & tc+td } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & tc+td \\ 0 & tc+td }
[/mm]
[mm] \phi [/mm] ist linear. [mm] \Box
[/mm]
b)
[mm] B_{Ker} :=\{\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }\}
[/mm]
[mm] B_{Im} [/mm] := [mm] \{\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }\}
[/mm]
c)
[mm] B_{Y} [/mm] = [mm] B_{Ker} \cup \{\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }\}
[/mm]
2)
Sei B Basis von V.
Sei nun o.B.d.A.
[mm] B:=\{\pmat{ 2 \\ 0 \\ 0 }, \pmat{ 0 \\ 2 \\ 0 }, \pmat{ 0 \\ 0 \\ 2 }\}
[/mm]
Dadurch ist die Abbildung genau definiert durch:
[mm] e_{1}=\pmat{ 2 \\ 0 \\ 0 } \mapsto \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] e_{2}=\pmat{ 0 \\ 2 \\ 0 } \mapsto \pmat{ 2 & 0 \\ -2 & 0 }
[/mm]
[mm] e_{3}=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 2 } \mapsto \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & -2 }
[/mm]
Alle anderen Elemente aus V ergeben sich als Linearkombination aus B.
Daraus folgt:
[mm] (\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3})\pmat{ a \\ b \\ c } \mapsto \pmat{ \lambda_{1}a+\lambda_{2}b & 0 \\ -\lambda_{2}b & -\lambda_{3}c }
[/mm]
Ich bedanke mich schon mal im Vorraus für die Mühe und ich hoffe, dass ich nicht ganz versagt habe ;)
lG
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