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| Aufgabe 1 | 3.
An object of mass m is thrown up an inclined plane of inclination [mm] \alpha. [/mm] Assuming no friction, show that the maximum distance reached is
[mm] \frac{v_0^2}{2*g*sin(\alpha)} [/mm] |
| Aufgabe 2 | 4.
If air resistance proportional to the instantaneous velocity (constant of proportionality k) is taken into account, show that the object in Exercise 3 reaches a maximum distance up the incline given by
[mm] \frac{m*v_0}{k}-\frac{m^2g}{k^2}*sin(\alpha)*ln\left(1+\frac{k*v_0}{m*g*sin(\alpha)} \right) [/mm] .
Verify that this distance reduces to that of Exercise 3 as k [mm] \to [/mm] 0. |
Hallo,
ich finde meinen Rechenfehler in der 4. Aufgabe nicht. Wenn jemand Zeit hätte einmal drüber zu schaun?
3.
[mm] $m*a=-m*g*sin(\alpha)$
[/mm]
[mm] $v=-g*sin(\alpha)*t+v_0$
[/mm]
[mm] $s=-\frac{1}{2}g*sin(\alpha)*t^2+v_0*t$
[/mm]
[mm] $t_{max}=\frac{v_0}{g*sin(\alpha)}$
[/mm]
[mm] $s_{max}=-\frac{1}{2}g*sin(\alpha)\left( \frac{v_0}{g*sin(\alpha)}\right)*^2+\frac{v_0^2}{g*sin(\alpha)}$
[/mm]
[mm] $s_{max}=\frac{1}{2}* \frac{v_0^2}{g*sin(\alpha)}$
[/mm]
4.
[mm] $m*a=-m*g*sin(\alpha)-k*v$
[/mm]
[mm] $\frac{dv}{dt}=-g*sin(\alpha)-\frac{k}{m}*v$
[/mm]
[mm] $\int \frac{1}{g*sin(\alpha)+\frac{k}{m}*v} \;dv=-\int \;dt [/mm] $
[mm] $\frac{m}{k}*ln\left| g*sin(\alpha)+\frac{k}{m}*v\right|=-t+C_1$
[/mm]
[mm] v(t=0)=v_0 [/mm]
[mm] $C_1=\frac{m}{k}*ln\left| g*sin(\alpha)+\frac{k}{m}*v_0\right|$
[/mm]
[mm] $ln\left| g*sin(\alpha)+\frac{k}{m}*v\right|=-\frac{k}{m}*t+ln\left| g*sin(\alpha)+\frac{k}{m}*v_0\right|$
[/mm]
[mm] $\frac{k}{m}*v=\left( g*sin(\alpha)+\frac{k}{m}*v_0\right)*e^{-(k/m)*t}-g*sin(\alpha)$
[/mm]
[mm] $v=\left(\frac{m}{k}*g*sin(\alpha)+v_0\right)*e^{-(k/m)*t}-\frac{m}{k}*g*sin(\alpha)$
[/mm]
[mm] $s=\left(-\frac{m^2}{k^2}*g*sin(\alpha)-\frac{m}{k}*v_0\right)*e^{-(k/m)*t}-\frac{m}{k}*g*sin(\alpha)*t$
[/mm]
Können diese Vorzeichen richtig sein?
[mm] $t_{max}=-\frac{m}{k}*ln\left(\frac{m*g*sin(\alpha)}{m*g*sin(\alpha)+k*v_0} \right)=\frac{m}{k}*ln\left(1+\frac{k*v_0}{m*g*sin(\alpha)} \right)$
[/mm]
[mm] $s_{max}=\frac{m}{k}*\left(-\frac{m}{k}*g*sin(\alpha)-v_0\right)*\left(\frac{\frac{m}{k}*g*sin(\alpha)}{\frac{m}{k}*g*sin(\alpha)+v_0} \right)-\frac{m}{k}*g*sin(\alpha)*\frac{m}{k}*ln\left(1+\frac{k*v_0}{m*g*sin(\alpha)} \right)$
[/mm]
[mm] $s_{max}=-\frac{m^2}{k^2}*g*sin(\alpha)-\frac{m^2}{k^2}*g*sin(\alpha)*ln\left(1+\frac{k*v_0}{m*g*sin(\alpha)} \right)$
[/mm]
Der erste Summand stimmt nicht - abgesehen von den Vorzeichen.
Vielen Dank.
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:01 Mi 13.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei s hast du nicht die Grenze t=0 eingesetzt, bzw. C vergessen. man sieht sofort [mm] s(0)\ne [/mm] 0
bis [mm] t_{max} [/mm] scheint alles richtig.
Gruss leduart
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Hallo leduart,
Dank dir - jetzt habe ich das Ergebnis.
[mm] $s_{max}=\frac{m*v_0}{k}-\frac{m^2}{k^2}*g*sin(\alpha)+ln\left(1+\frac{k*v_0}{m*g*sin(\alpha)} \right)$
[/mm]
Ich habe keine Idee zur letzten Aufgabe. Wie zeige ich, das [mm] s_{max} [/mm] für t [mm] \to [/mm] 0
[mm] $\frac{v_0^2}{2*g*sin(\alpha)}$
[/mm]
ist?
Vielen Dank für einen Tipp.
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Do 14.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
aus der formel direkt kann man das nicht ablesen. fuer k gegen 0 kann man den ln(1+k*C) durch die Tangente kC erstzen
also [mm] ln(1=x)\approx [/mm] x
aber dann bekommt man 0 raus.
da man im verlauf der rechnung so oft durch k dividiert hat, muesste man das zurueckverfolgen und vermeiden. Das auszuprobieren ists mir zu spaet. also such mal weiter vorne. natuerlich kann man das gleich in der Dgl machen, dann ist man direkt da! 
Gute Nacht leduart
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