schiefsymetrische Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Di 22.06.2004 | | Autor: | tine |
Hallo,
ich hab da folgende Aufgabe mit der ich leider nix anfangen kann, wär lieb wenn mir jemand helfen könnte!!!! Vielen Dank!!!!
Aufgabe:
Man zeige, dass die Determinate einer schiefsymmetrischen Matrix ungerader Reihenzahl gleich 0 ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Di 22.06.2004 | | Autor: | tine |
Hallo,
erstmal vielen Dank für die Hilfe!
Ist das so richtig???
det-A=
[mm] \vmat{ -a_{11}& ...&-a_{1n} \\ ...& ... \\ -a_{n1}& ...&-a_{nn}}
[/mm]
=(-1) [mm] \vmat{ a_{11}& ...&-a_{1n} \\ ...& ... \\ a_{n1}& ...&-a_{nn}}
[/mm]
[mm] =(-1)\vmat{ a_{11}& ...&-a_{1n} \\ ...& ... \\ a_{n1}& ...&-a_{nn}}*(-1)\vmat{ a_{11}& a_{12}&-a_{31}&...&a_{1n} \\ ....& ...&...& ... \\ ...& ...&... \\ a_{n1}&a_{n2}&-a_{n3}& ...&-a_{nn}}*......
[/mm]
[mm] =(-1)^{n}*detA
[/mm]
Stimmt das? Wie es ab da weitergehen soll weiß ich leider nicht!!!
Liebe Grüße tine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Di 22.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo tine!
> det-A=
> [mm]\vmat{ -a_{11}& ...&-a_{1n} \\ ...& ... \\ -a_{n1}& ...&-a_{nn}}
[/mm]
>
> =(-1) [mm]\vmat{ a_{11}& ...&-a_{1n} \\ ...& ... \\ a_{n1}& ...&-a_{nn}}
[/mm]
>
> [mm]=(-1)\vmat{ a_{11}& ...&-a_{1n} \\ ...& ... \\ a_{n1}& ...&-a_{nn}}*(-1)\vmat{ a_{11}& a_{12}&-a_{31}&...&a_{1n} \\ ....& ...&...& ... \\ ...& ...&... \\ a_{n1}&a_{n2}&-a_{n3}& ...&-a_{nn}}*......
[/mm]
>
> [mm]=(-1)^{n}*detA
[/mm]
Auf mysteriöse Weise stimmt des Ergebnis, aber nicht der Rechenweg (oder dieser ist nur falsch aufgeschrieben) (ich meine den Schritt von der vorletzten auf die letzte Gleichung).
$det-A$
[mm] $=\vmat{ -a_{11}&-a_{12}&\ldots&-a_{1n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ -a_{n1}& -a_{n2}&\ldots&-a_{nn}}$
[/mm]
[mm] $=(-1)*\vmat{ a_{11}&-a_{12}&\ldots&-a_{1n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_{n1}& -a_{n2}&\ldots&-a_{nn}}$
[/mm]
[mm] $=(-1)*(-1)*\vmat{ a_{11}&a_{12}&\ldots&-a_{1n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_{n1}& a_{n2}&\ldots&-a_{nn}}$
[/mm]
[mm] $=(-1)*\ldots*(-1)*\ldots$
[/mm]
[mm] $=(-1)^n*\vmat{ a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_{n1}& a_{n2}&\ldots&a_{nn}}$
[/mm]
> Stimmt das? Wie es ab da weitergehen soll weiß ich leider
> nicht!!!
Jetzt mußt du noch 1 und 1 zusammenzählen; forme doch mal diese Gleichung um und wende alles Wissen an, das wir bereits gesammelt haben (mehr brauchst du auch nicht):
[mm] $A^T=-A$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ \det A^T=\det [/mm] -A$
[mm] $\gdw\ \ldots=\ldots$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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Moin, das was du da geschrieben hast, ist ja eigentlich schon in der Aufgabenstellung enthalten, denn es soll ja für eine schiefsymmetrische Matrix gelten: [mm] a_{i,j} [/mm] = [mm] -a_{j,i} [/mm] für alle i,j!
Dies war die Aufgabe dazu:
> Aufgabe:
> Man zeige, dass die Determinate einer schiefsymmetrischen Matrix
> ungerader Reihenzahl gleich 0 ist.
ich habe dafür überlegt, das als Beispiel:
[mm] \pmat{ a_{0} ß a_{1} ß a_{2} \\ a_{-1} ß a_{0} ß a_{3} \\ a_{-2} ß a_{-3} ß a_{0} }
[/mm]
hier die in der Det jeder Wert mit [mm] a_{0} [/mm] zusammen hagt, während bei einer geraden Reihenzahl es auch Werte unabhängig von [mm] a_{0} [/mm] gibt!
Wenn man also [mm] a_{0} [/mm] = 0 setzt ist die Determinante für alle ungeraden Reihenzahlen = 0, aber nur für diesen Fall, für > 0 und < 0 gilt dies nicht mehr! Womit die Aufgabe widerlegt ist!
Denke ich jetzt mal so!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Spacestar!
Nimm es mir nicht übel, aber deine Ausführungen machen keinen rechten Sinn. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> Moin, das was du da geschrieben hast, ist ja eigentlich
> schon in der Aufgabenstellung enthalten, denn es soll ja
> für eine schiefsymmetrische Matrix gelten: [mm]a_{i,j}[/mm] =
> [mm]-a_{j,i}[/mm] für alle i,j!
Ja, das nutzt Marc ja auch nur aus um $det(A)=0$ herzuleiten!
> ich habe dafür überlegt, das als Beispiel:
>
> [mm]\pmat{ a_{0} ß a_{1} ß a_{2} \\ a_{-1} ß a_{0} ß a_{3} \\ a_{-2} ß a_{-3} ß a_{0} }
[/mm]
Warum ist denn der Index plötzlich negativ??
> hier die in der Det jeder Wert mit [mm]a_{0}[/mm] zusammen hagt,
> während bei einer geraden Reihenzahl es auch Werte
> unabhängig von [mm]a_{0}[/mm] gibt!
Häh?
> Wenn man also [mm]a_{0}[/mm] = 0 setzt ist die Determinante für
> alle ungeraden Reihenzahlen = 0, aber nur für diesen Fall,
> für > 0 und < 0 gilt dies nicht mehr! Womit die Aufgabe
> widerlegt ist!
Das ist nicht zu verstehen, tut mir leid.
Viele Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ach, so langsam bekomme ich eine vage Vorstellung von dem, was du fragen wolltest.
Du wolltest eventuell sagen, dass
[mm] $\begin{pmatrix}a_0 & a_1 & a_2 \\ -a_1 & a_0 & a_3 \\ -a_2 & -a_3 & a_0 \end{pmatrix}$
[/mm]
im Falle [mm] $a_0 \ne [/mm] 0$ keine verschwindende Determinante hat. Dies stimmt im Allgemeinen, aber:
Eine solche Matrix ist auch nicht schiefsymmetrisch,
denn die Beziehung [mm] $a_{ij} [/mm] = - [mm] a_{ji}$ [/mm] muss auch für $i=j$ gelten, und [mm] $a_{ii} [/mm] = [mm] -a_{ii}$ [/mm] führt zu [mm] $a_{ii}=0$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
