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Forum "Uni-Lineare Algebra" - schiefsymetrische Matrix
schiefsymetrische Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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schiefsymetrische Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:18 Di 22.06.2004
Autor: tine

Hallo,
ich hab da folgende Aufgabe mit der ich leider nix anfangen kann, wär lieb wenn mir jemand helfen könnte!!!! Vielen Dank!!!!

Aufgabe:
Man zeige, dass die Determinate einer schiefsymmetrischen Matrix ungerader Reihenzahl gleich 0 ist.

        
Bezug
schiefsymetrische Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 Di 22.06.2004
Autor: Marc

Hallo tine,

[willkommenmr]

> Aufgabe:
>  Man zeige, dass die Determinate einer schiefsymmetrischen
> Matrix ungerader Reihenzahl gleich 0 ist.

Schiefsymmetrisch bedeutet doch, es gilt diese Gleichung: [mm] $A^T=-A$. [/mm]

Nun dürfte weiterhin bekannt sein, dass [mm] $\det A^T=\det [/mm] A$ gilt.

Interessant wäre vielleicht noch, herauszufinden wie [mm] $\det [/mm] -A$ und [mm] $\det [/mm] A$ zusammenhängen. Dazu gebe ich mal folgenden Denkanstoß:

[mm] $\det [/mm] -A$
[mm] $=\vmat{-a_{11}&\ldots&-a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\-a_{n1}&\ldots&-a_{nn}}$ [/mm]
[mm] $=(-1)*\vmat{a_{11}&\ldots&-a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\ldots&-a_{nn}}$ [/mm]
[mm] $=\ldots$ [/mm]
[mm] $=\ldots*\det [/mm] A$

Kannst du die fehlenden Teile ausfüllen und alles zum Beweis der Behauptung zusammensetzen?

Falls nicht, melde dich bitte einfach wieder :-)

Viel Erfolg,
Marc





Bezug
                
Bezug
schiefsymetrische Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 Di 22.06.2004
Autor: tine

Hallo,
erstmal vielen Dank für die Hilfe!
Ist das so richtig???

det-A=
[mm] \vmat{ -a_{11}& ...&-a_{1n} \\ ...& ... \\ -a_{n1}& ...&-a_{nn}} [/mm]
=(-1) [mm] \vmat{ a_{11}& ...&-a_{1n} \\ ...& ... \\ a_{n1}& ...&-a_{nn}} [/mm]
[mm] =(-1)\vmat{ a_{11}& ...&-a_{1n} \\ ...& ... \\ a_{n1}& ...&-a_{nn}}*(-1)\vmat{ a_{11}& a_{12}&-a_{31}&...&a_{1n} \\ ....& ...&...& ... \\ ...& ...&... \\ a_{n1}&a_{n2}&-a_{n3}& ...&-a_{nn}}*...... [/mm]
[mm] =(-1)^{n}*detA [/mm]

Stimmt das?  Wie es ab da weitergehen soll weiß ich leider nicht!!!
Liebe Grüße tine



Bezug
                        
Bezug
schiefsymetrische Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:30 Di 22.06.2004
Autor: Marc

Hallo tine!

> det-A=
>   [mm]\vmat{ -a_{11}& ...&-a_{1n} \\ ...& ... \\ -a_{n1}& ...&-a_{nn}} [/mm]
>  
> =(-1) [mm]\vmat{ a_{11}& ...&-a_{1n} \\ ...& ... \\ a_{n1}& ...&-a_{nn}} [/mm]
>  
> [mm]=(-1)\vmat{ a_{11}& ...&-a_{1n} \\ ...& ... \\ a_{n1}& ...&-a_{nn}}*(-1)\vmat{ a_{11}& a_{12}&-a_{31}&...&a_{1n} \\ ....& ...&...& ... \\ ...& ...&... \\ a_{n1}&a_{n2}&-a_{n3}& ...&-a_{nn}}*...... [/mm]
>  
> [mm]=(-1)^{n}*detA [/mm]

Auf mysteriöse Weise stimmt des Ergebnis, aber nicht der Rechenweg (oder dieser ist nur falsch aufgeschrieben) (ich meine den Schritt von der vorletzten auf die letzte Gleichung).

$det-A$
[mm] $=\vmat{ -a_{11}&-a_{12}&\ldots&-a_{1n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ -a_{n1}& -a_{n2}&\ldots&-a_{nn}}$ [/mm]
[mm] $=(-1)*\vmat{ a_{11}&-a_{12}&\ldots&-a_{1n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_{n1}& -a_{n2}&\ldots&-a_{nn}}$ [/mm]
[mm] $=(-1)*(-1)*\vmat{ a_{11}&a_{12}&\ldots&-a_{1n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_{n1}& a_{n2}&\ldots&-a_{nn}}$ [/mm]
[mm] $=(-1)*\ldots*(-1)*\ldots$ [/mm]
[mm] $=(-1)^n*\vmat{ a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_{n1}& a_{n2}&\ldots&a_{nn}}$ [/mm]

> Stimmt das?  Wie es ab da weitergehen soll weiß ich leider
> nicht!!!

Jetzt mußt du noch 1 und 1 zusammenzählen; forme doch mal diese Gleichung um und wende alles Wissen an, das wir bereits gesammelt haben (mehr brauchst du auch nicht):

[mm] $A^T=-A$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow\ \det A^T=\det [/mm] -A$
[mm] $\gdw\ \ldots=\ldots$ [/mm]

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                                
Bezug
schiefsymetrische Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:27 Mi 23.06.2004
Autor: Spacestar

Moin, das was du da geschrieben hast, ist ja eigentlich schon in der Aufgabenstellung enthalten, denn es soll ja für eine schiefsymmetrische Matrix gelten: [mm] a_{i,j} [/mm] = [mm] -a_{j,i} [/mm] für alle i,j!

Dies war die Aufgabe dazu:

> Aufgabe:
> Man zeige, dass die Determinate einer schiefsymmetrischen Matrix
> ungerader Reihenzahl gleich 0 ist.

ich habe dafür überlegt, das als Beispiel:

[mm] \pmat{ a_{0} ß a_{1} ß a_{2} \\ a_{-1} ß a_{0} ß a_{3} \\ a_{-2} ß a_{-3} ß a_{0} } [/mm]

hier die in der Det jeder Wert mit [mm] a_{0} [/mm] zusammen hagt, während bei einer geraden Reihenzahl es auch Werte unabhängig von [mm] a_{0} [/mm] gibt!
Wenn man also [mm] a_{0} [/mm] = 0 setzt ist die Determinante für alle ungeraden Reihenzahlen = 0, aber nur für diesen Fall, für > 0 und < 0 gilt dies nicht mehr! Womit die Aufgabe widerlegt ist!

Denke ich jetzt mal so!

Bezug
                                        
Bezug
schiefsymetrische Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:48 Mi 23.06.2004
Autor: Julius

Hallo Spacestar!

Nimm es mir nicht übel, aber deine Ausführungen machen keinen rechten Sinn. [verwirrt]

> Moin, das was du da geschrieben hast, ist ja eigentlich
> schon in der Aufgabenstellung enthalten, denn es soll ja
> für eine schiefsymmetrische Matrix gelten: [mm]a_{i,j}[/mm] =
> [mm]-a_{j,i}[/mm] für alle i,j!

Ja, das nutzt Marc ja auch nur aus um $det(A)=0$ herzuleiten!

> ich habe dafür überlegt, das als Beispiel:
>  
> [mm]\pmat{ a_{0} ß a_{1} ß a_{2} \\ a_{-1} ß a_{0} ß a_{3} \\ a_{-2} ß a_{-3} ß a_{0} } [/mm]

Warum ist denn der Index plötzlich negativ??  

> hier die in der Det jeder Wert mit [mm]a_{0}[/mm] zusammen hagt,

[verwirrt]

> während bei einer geraden Reihenzahl es auch Werte
> unabhängig von [mm]a_{0}[/mm] gibt!

Häh?

>  Wenn man also [mm]a_{0}[/mm] = 0 setzt ist die Determinante für
> alle ungeraden Reihenzahlen = 0, aber nur für diesen Fall,
> für > 0 und < 0 gilt dies nicht mehr! Womit die Aufgabe
> widerlegt ist!

Das ist nicht zu verstehen, tut mir leid.

Viele Grüße
Julius

Bezug
                                        
Bezug
schiefsymetrische Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:20 Mi 23.06.2004
Autor: Julius

Hallo!

Ach, so langsam bekomme ich eine vage Vorstellung von dem, was du fragen wolltest.

Du wolltest eventuell sagen, dass

[mm] $\begin{pmatrix}a_0 & a_1 & a_2 \\ -a_1 & a_0 & a_3 \\ -a_2 & -a_3 & a_0 \end{pmatrix}$ [/mm]

im Falle [mm] $a_0 \ne [/mm] 0$ keine verschwindende Determinante hat. Dies stimmt im Allgemeinen, aber:

Eine solche Matrix ist auch nicht schiefsymmetrisch,

denn die Beziehung [mm] $a_{ij} [/mm] = - [mm] a_{ji}$ [/mm] muss auch für $i=j$ gelten, und [mm] $a_{ii} [/mm] = [mm] -a_{ii}$ [/mm] führt zu [mm] $a_{ii}=0$. [/mm]

Liebe Grüße
Julius

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