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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - schnittpunkt zwischen gerade und ebene in verschiedener form
schnittpunkt zwischen gerade und ebene in verschiedener form < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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schnittpunkt zwischen gerade und ebene in verschiedener form: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 Mi 31.03.2004
Autor: flo

Hi!
Mag mir vielleicht jemand bei folgender aufgabe helfen?

Berechnen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel von gerade g und ebene E.
g: x= (2/2/7) + r (0/1/0)
E: 2x +2y +z=9

sorry, aber ich weiss nicht, wie ich die vektoren richtig schreiben kann..


mein ergebnis: S(2/-1/7)
stimmt das?
liebe grüße,
flo :)

        
Bezug
schnittpunkt zwischen gerade und ebene in verschiedener form: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:39 Mi 31.03.2004
Autor: Julius

Hallo Flo!

Dein Ergebnis ist richtig! [ok]

Den Schnittwinkel [mm]\alpha[/mm] kannst du jetzt noch über die Beziehung

(#) [mm]\sin(\alpha) = \frac{\vec{n} \* \vec{s}}{|\vec{n}| \cdot |\vec{s}|}[/mm]

berechnen, wobei [mm]\vec{n}[/mm] der Normalenvektor der Ebene (den du an der gegebenen Normalenform unmittelbar ablesen kannst) und [mm]\vec{s}[/mm] der Richtungsvektor der Geraden ist. Hierbei bezeichne ich mit [mm]\*[/mm] das Skalarprodukt und mit [mm]|\, \cdot\, |[/mm] den Betrag (die euklidische Norm) eines Vektors.

Ist dir die Beziehung (#) anschaulich klar? Eine Skizze hilft dir bei der Interpretation. Beachte dabei, wie man das Skalarprodukt zweier  Vektoren geometrisch interpretieren kann:

Gilt [mm]|\vec{n}|=1[/mm], so ist [mm]\vec{a} \* \vec{n}[/mm] die Länge der orthogonalen Projektion von [mm]\vec{a}[/mm] auf den von [mm]\vec{n}[/mm] aufgespannten eindimesionalen Unterraum (also auf die Gerade mit [mm]\vec{n}[/mm] als Richtungsvektor).

Melde dich mal mit einem Ergebnis bezüglich [mm]\alpha[/mm] oder weiteren Fragen.

Liebe Grüße
Julius

Bezug
                
Bezug
schnittpunkt zwischen gerade und ebene in verschiedener form: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:26 Mi 31.03.2004
Autor: flo

Hallo Julius! :)

Danke für deine Hilfe... :)
Wenn ich das jetzt richtig verstanden haben sollte, müsste der Schnittwinkel ungefähr 48,2° betragen...
stimmt das?

lg, flo :)

Bezug
                        
Bezug
schnittpunkt zwischen gerade und ebene in verschiedener form: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:34 Mi 31.03.2004
Autor: Marc

Hallo Flo!

>  Wenn ich das jetzt richtig verstanden haben sollte, müsste
> der Schnittwinkel ungefähr 48,2° betragen...
>  stimmt das?

Also, ich habe da etwas anderes raus, aber vielleicht war es ja auch nur ein Tippfehler von dir:

[mm]\sin(\alpha) = \frac{\vec{n} \* \vec{s}}{|\vec{n}| \cdot |\vec{s}|}=\frac{0+2+0}{3*1}=\frac{2}{3}[/mm]
[mm] $\Rightarrow \alpha\approx [/mm] 41,81°$

Und, war es ein Tippfehler oder hast du tatsächlich etwas falsch gemacht?

--Marc.

Bezug
                                
Bezug
schnittpunkt zwischen gerade und ebene in verschiedener form: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:26 Do 01.04.2004
Autor: flo

Hi Marc! :)

Hmmm, das verstehe ich jetzt nicht...
2/3 habe ich auch rausbekommen.. und dann habe ich
cos^-1 (2/3) = 48,2° herausbekommen...
habe es gerade nocheinmal eingegeben...
also, wo liegt jetzt der Fehler???? :(

lg, flo :)

Bezug
                                        
Bezug
schnittpunkt zwischen gerade und ebene in verschiedener form: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:40 Do 01.04.2004
Autor: Julius

Liebe Flo,

ich würde es mal mit [mm]sin^{-1}[/mm] versuchen. ;-)

Liebe Grüße
Julius

Bezug
                                        
Bezug
schnittpunkt zwischen gerade und ebene in verschiedener form: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:04 Do 01.04.2004
Autor: Julius

Hallo Flo,

hier siehst du, warum man [mm]\sin[/mm] und nicht [mm]\cos[/mm] nehmen muss:

[]http://sites.inka.de/picasso/Schnurr/Schnittwinkel.html#Winkel(g,E)

Der Winkel, den man mit [mm]\cos[/mm] bekommt, ist der Winkel [mm]\alpha'[/mm] zwischen der Normalen und der Geraden. Gesucht ist aber der zu [mm]90°[/mm] komplementäre Winkel dazu, nämlich der Winkel

[mm]\alpha=90°-\alpha'[/mm]

zwischen der Gerade und der Ebene. Und es gilt:

[mm]\sin(\alpha)=\cos(90°-\alpha)=\cos(\alpha')[/mm].

Jetzt klar?

Liebe Grüße
Julius

Bezug
                                                
Bezug
schnittpunkt zwischen gerade und ebene in verschiedener form: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:44 Do 01.04.2004
Autor: flo

Hm, immer diese Logik... :)

Aber vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden.. :))

lg, flo :)



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