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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Sa 21.08.2010 | | Autor: | mero |
| Aufgabe | An einem Hang mit [mm] \phi [/mm] = 25° Neigung wird ein Stein unter dem Winkel von [mm] \alpha [/mm] = 35° zur Horizontalen abgeworfen. Der Stein schlägt bergab 90m von der Abwurfstelle auf dem Hang auf.
Berechnen Sie die Abwurfgeschwindigkeit und Wurfdauer. |
Hallo,
kann ich bei der Aufgabe folgenden Weg einschlagen?
Ich habe mir gedacht, dass wenn ich die Ebene um 25° drehe, sich ja auch der Abwurfwinkel mit verschiebt. also 25°+35° = 60°
Kann ich also sagen, dass ich den Stein auf einer geraden Ebene mit einem Winkel von 60° gegenüber der horizontalen abwerfe und er in 81m aufkommt? Die 81m habe ich mir in dem Dreieck ausgerechnet.
Geht das so? Oder ist da ein Denkfehler drin?
MfG!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:52 Sa 21.08.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo mero!
Das geht m.E. nicht, da durch diese Drehung die Schwerkaft nicht mehr senkrecht zu der Bezugsbenene wirkt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Sa 21.08.2010 | | Autor: | mero |
hm, wie muss ich dann vorgehen?
Ich komme immer ganz knapp an das Ergebnis, aber irgendwie nicht genau dran.
Ich habe auch den Ortsvektor aufgestellt
r = [mm] \vektor{v*t*cos \alpha \\ -0.5 * g * t^2 + v * sin \alpha *t - 38}
[/mm]
das ist aber im Prinzip ja das gleiche, die 38 habe ich wieder über das Dreieck berechnet, weil der Stein ja noch die 38 m runterfällt, aber ich glaube das ist auch falsch.
Mich irritieren diese 2 verschiedenen Winkel.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Sa 21.08.2010 | | Autor: | Kroni |
> Ich habe auch den Ortsvektor aufgestellt
>
> r = [mm]\vektor{v*t*cos \alpha \\ -0.5 * g * t^2 + v * sin \alpha *t - 38}[/mm]
>
> das ist aber im Prinzip ja das gleiche, die 38 habe ich
> wieder über das Dreieck berechnet, weil der Stein ja noch
> die 38 m runterfällt, aber ich glaube das ist auch
> falsch.
Hi,
du hast doch einerseits die Strecke gegeben, die der Stein fliegt. Andererseits kennst du die Wurfweite. Dann kann man Schritt fuer Schritt an die Loesung gehen.
> Mich irritieren diese 2 verschiedenen Winkel.
Hast du dir schon eine vernuenftige Skizze gemacht?
Wenn ich mit deinen Daten rechne, dann bekomme ich fuer die 'Tiefe' heraus, wenn ich den Nullpunkt meines Koordinatensystems an der Abwurstelle lege:
[mm] $h=-w\cdot\tan\varphi \approx [/mm] - 41.97 [mm] \,\text{m}$ [/mm] heraus und keine [mm] $38\,\text{m}$.
[/mm]
Noch eine weitere Frage:
Warum stellst du deinen Ortsvektor denn so auf? Die $38$ oder wie auch immer haben doch in der Bewegungsgleichung nichts verloren.
Stelle doch einfach die 'normalen' Bewegungsgleichungen auf, wie du es auch gemacht hast:
$x(t) = [mm] v_0\cos\alpha \cdot [/mm] t$
$z(t) = [mm] -\frac{1}{2}gt^2 [/mm] + [mm] v_0\sin\alpha \cdot [/mm] t$
und jetzt musst du dir ueberlegen, wie du die Flugzeit bestimmen kannst (zb indem du weist, dass nach der Flugzeit $T$ die horizontale Strecke $x(T) = w = [mm] 90\,\text{m}$ [/mm] zurueckgelegt wurde.
Weil du dann aber auch noch weist, dass dein Objekt dann am Hang aufgeschalgen ist, kennst du die 'Tiefe', die jetzt aber dann (zumindest in meinem Koordiantensystem) negativ ist, weil der Hang ja nach unten weg geht. Also kannst du sagen, dass
[mm] $z(T)\overset{!}{=}h [/mm] < 0$,
womit du dann zwei Gleichungen für zwei Unbekannte hast, die du loesen kannst.
Ist das Vorgehen so 'logisch' fuer dich?
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Sa 21.08.2010 | | Autor: | mero |
Hallo,
also:
Ich habe mir eine Skizze gemacht und ich kenne ja die Hypothenuse mit 90m und den Winkel mit 25°
Dann kann ich die Gegenkathete, also die Höhe, die er fallen muss mit dem sinus ausrechnen
sin 25° = [mm] \bruch{G}{90}
[/mm]
G= 38.03m
Habe ich die 90m horizontal zurückgelegt? Oder Wären das vom Dreieck dann nur die Ankathete zum Winkel von 25°, also 81m?
Die normale Bewegungsgleichung für eine Gerade bekomme ich hin.
Was meinst du mit der 2. Gleichung?
Die Fallzeit wäre dann nochmal eine Bewegungsgleichung senkrecht nach unten für die fehlende Höhe, oder?
meinst du das mit dem $ [mm] z(T)\overset{!}{=}h [/mm] < 0 $ ? Das verstehe ich nämlich nicht ganz.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Sa 21.08.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
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> Ich habe mir eine Skizze gemacht
sehr gut! Das ist meist das wichtigste bei solchen Aufgaben, sich das klar vor Augen zu fueheren, welcher Winkel wo liegt usw.
> und ich kenne ja die
> Hypothenuse mit 90m und den Winkel mit 25°
>
> Dann kann ich die Gegenkathete, also die Höhe, die er
> fallen muss mit dem sinus ausrechnen
>
> sin 25° = [mm]\bruch{G}{90}[/mm]
>
> G= 38.03m
Ah, hier unterscheidet sich schonmal unsere Rechnung. Ich bin davon ausgegangen, dass die Strecke, die horizontal zurueckgelegt worden ist, gleich [mm] $90\,\text{m}$ [/mm] betragt. Du gehst aber davon aus, dass mit den [mm] $90\,\text{m}$ [/mm] die Strecke gemeint ist, die man 'den Hang runterlaufen muss, um zur Auftreffstelle zu kommen'? Gut, so kann mans auch interpretieren, aendert aber wohl nur marginal etwas an der Rechnung. Der Unterschied im Abwurf-Quadrat ist genau ein [mm] $\cos\phi$.
[/mm]
>
> Habe ich die 90m horizontal zurückgelegt? Oder Wären das
> vom Dreieck dann nur die Ankathete zum Winkel von 25°,
> also 81m?
Das ist genau die Frage, wie mans interpretiert. Ich habs erst so interpretiert, dass die [mm] $90\,\text{m}$ [/mm] die horizontale Strecke sind, das also zum Auftreffzeitpunkt $T$ $x(T) = [mm] 90\,\text{m}$ [/mm] gilt. Wenn ichs aber anders rechne, gibt es genau den [mm] $\cos\phi$ [/mm] Faktor im Geschwindigkeitsquadrat, d.h. einmal komme ich dann auf eine Geschwindigkeit von [mm] $v_0 \approx 23.75\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ [/mm] und einmal auf [mm] $v_0\approx 22.61\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$
[/mm]
>
> Die normale Bewegungsgleichung für eine Gerade bekomme ich
> hin.
>
> Was meinst du mit der 2. Gleichung?
> Die Fallzeit wäre dann nochmal eine Bewegungsgleichung
> senkrecht nach unten für die fehlende Höhe, oder?
> meinst du das mit dem [mm]z(T)\overset{!}{=}h < 0[/mm] ? Das
> verstehe ich nämlich nicht ganz.
>
Nun, ich habe mein Koordinatensystem so gelegt, dass der Urpsrung am Abwurfpunkt liegt. Dann gilt
$x(t) = [mm] v_0\cos\alpha \cdot [/mm] t$
$z(t) = [mm] -\frac{1}{2}gt^2 [/mm] + [mm] v_0 \sin\alpha \cdot [/mm] t$
Dann weiss man ja, wenn $T$ die Flugzeit sein soll, dass
$x(T) = w = [mm] 90\,\text{m}$ [/mm] (oder aber eben, wenn man die [mm] $90\,\text{m}$ [/mm] so interpretiert, wie du es getan hast
$x(T) = [mm] w\cos\phi \approx 81.57\,\text{m}$
[/mm]
Das kann man dann nach $T$ umstellen, und das ganze dann in
$z(T)$ einsetzen. Da weiss man dann aber auch, dass $z(T) = [mm] -w\tan\phi$ [/mm] sein muss (und das meinte ich mit: Der Wert muss negativ sein, weil der Auftreffpunkt ja unter meinem Abwurfpunkt liegt, weil die Boeschung bergab geht), oder aber, wenn man es so interpretiert wir du, muss gelten
$z(T) = [mm] -w\sin\phi$
[/mm]
Und jetzt kann man dann nach [mm] $v_0$ [/mm] aufloesen, und hat dann ein Ergebnis fuer [mm] $v_0$ [/mm] herausbekommen. Das dann in $x(T) = [mm] \ldots$ [/mm] eingesetzt, ergibt dann die Flugzeit $T$, aber das ist auch sicher die Vorgehensweise, die du schon gewaehlt hast.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Sa 21.08.2010 | | Autor: | mero |
Hm, also ich glaube ich habe genau das schon getan und zwar ist das jetzt meine Rechnung:
(1) v* [mm] cos(\apha)*t [/mm] ) 81,5m
(2) [mm] -\bruch{1}{2}*g*t^2+v*sin(\alpha)*t
[/mm]
t ist somit:
t= [mm] \bruch{81,5m}{v*cos(\alpha)}
[/mm]
nun kann ich das in (2) einsetzen:
[mm] -\bruch{1}{2}*g*\bruch{(81,5m)^2}{(v*cos(\alpha))^2}+v*sin(\alpha)*\bruch{81,5m}{v*cos(\alpha)}
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{2}*g*\bruch{(81,5m)^2}{(v*cos(\alpha))^2}+tan(\alpha)*81,5m
[/mm]
wenn ich das nun auflöse komme ich auf v ~ 32 m/s
das wäre ja jetzt aber nur für die horizontale. ist das so ok?
Was meinst du mit (t) = - [mm] \omega [/mm] * [mm] sin(\phi)
[/mm]
//Das war auch mein erster Versuch, aber diese Resthöhe fehlt. Die Lösung ist übrigens 22,6 m/s u. 4,4s
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Sa 21.08.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
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> (1) v* [mm]cos(\alpha)*t[/mm] ) 81,5m
> (2) [mm]-\bruch{1}{2}*g*t^2+v*sin(\alpha)*t[/mm]
>
> t ist somit:
>
> t= [mm]\bruch{81,5m}{v*cos(\alpha)}[/mm]
Das hab ich so auch (nur die [mm] $81.5\,\text{m}$ [/mm] nicht eingesetzt...)
>
> nun kann ich das in (2) einsetzen:
>
> [mm]-\bruch{1}{2}*g*\bruch{(81,5m)^2}{(v*cos(\alpha))^2}+v*sin(\alpha)*\bruch{81,5m}{v*cos(\alpha)}[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{2}*g*\bruch{(81,5m)^2}{(v*cos(\alpha))^2}+tan(\alpha)*81,5m[/mm]
>
> wenn ich das nun auflöse komme ich auf v ~ 32 m/s
Was genau loest du da auf? Das ist ja jetzt die entscheidene Frage, als was man dann das $z$ setzt.
>
> das wäre ja jetzt aber nur für die horizontale. ist das
> so ok?
Ok, du hast also hier den Term oben gleich $0$ gesetzt? Falls ja, ist das in der Tat nicht korrekt.
Du weist doch, dass nach der Flugzeit $T$ die 'Hoehe' $z= - [mm] 90\,\text{m}\cdot \sin\phi \approx 38.04\,\text{m}$ [/mm] erreicht ist (geht, wie du schon vorher richtig gerechnet hast) mit nem rechtwinkligen Dreieck.
Also musst du den Term von oben gleich den [mm] $-38.04\,\text{m}$ [/mm] setzen und nach $v$ aufloesen, und dann bekommst du die Abwurfgeschwindigkeit heraus.
>
> Was meinst du mit (t) = - [mm]\omega[/mm] * [mm]sin(\phi)[/mm]
Das ist genau die Bedingung, die ich oben genannt habe:
Nach der Gesamten Flugzeit $T$, d.h. zum Zeitpunkt der Landung, weist du doch, dass dein Objekt den Hang beruhert. Daraus kannst du dann dann mit Kenntnis der Kathete die Hoehe in $z$-Richtung ausrechnen, was dann mit dem rechtw. Dreieck ueber [mm] $h=w\cdot\sin\phi$ [/mm] geht, wobei das $w$ einfach nur eine Variable fuer die [mm] $90\,\text{m}$ [/mm] sind. (Ich benutze in meinen Rechnungen immer erst allgemein Groessen, wie zB $w$, das dann fuer die [mm] $90\,\text{m}$ [/mm] steht, und setze dann nach der kompletten Rechnung die Werte erst ein, so dass man vorher noch eine allgemeine 'Formel' ausgerechnet hat).
Das Vorzeichen $-$ kommt ja daher, weil der Nullpunkt am Abwurfpunkt gewaehlt wurde, und das Objekt ja definitiv 'unterhalb meiner Fuesse' den Hang trifft, deshalb ist der Auftreffpunkt $z(T) = - [mm] 90\,\text{m}\cdot\sin\phi$, [/mm] wobei [mm] $\phi$ [/mm] der Winkel des Hangs ist.
PS: Die [mm] $22.61\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ [/mm] gehoeren zu deiner Interpretation, dass die horizontal zurueckgelegte Strecke [mm] $x\approx 81.57\,\text{m}$ [/mm] ist.
Ich hoffe, es ist nun klarer, falls nicht, melde dich einfach nochmal :)
LG
Kroni
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> //Das war auch mein erster Versuch, aber diese Resthöhe
> fehlt. Die Lösung ist übrigens 22,6 m/s u. 4,4s
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Sa 21.08.2010 | | Autor: | mero |
Hallo,
ja ich glaube jetzt verstehe ich es.
Der Punkt, an dem der Stein auftrifft, liegt ja genau diese Strecke x tiefer.
Wenn ich meine Y-Achse genau auf 0 lege, liegt der punkte dementsprechend ja -x Einheiten unter der Achse.
Darum kann ich sagen, dass mein Stein bei bei 81.5m den X Wert 0 hat und der Y-Wert erst bei -X 0 wird.. so eine Gleichung brauche ich, die das erfüllt.
Dann hätte ich also
(1) v * cos 25° * t = 81.5m
(2) - [mm] \bruch{1}{2}*g*t^2+v [/mm] * sin(25°) *t = -38.5m
Wenn ich das löse, komme ich auf t=1,8s und auf v=49,4 m/s
Habe ich mich verrechnet, oder habe ich es doch falsch verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Sa 21.08.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
>
> Der Punkt, an dem der Stein auftrifft, liegt ja genau diese
> Strecke x tiefer.
> Wenn ich meine Y-Achse genau auf 0 lege, liegt der punkte
> dementsprechend ja -x Einheiten unter der Achse.
Wenn du mit dem $x$ das 'richtige' Meinst, sprich die [mm] $38\,\text{m}$, [/mm] dann ja.
>
>
> Darum kann ich sagen, dass mein Stein bei bei 81.5m den X
> Wert 0 hat und der Y-Wert erst bei -X 0 wird.. so eine
> Gleichung brauche ich, die das erfüllt.
Das kann ich grad nicht nachvollziehen, was du damit meinst. Wir wissen doch, dass wenn der Stein die horizontale Strecke [mm] $x=81.57\,\text{m}$ [/mm] zurueckgelegt hat, er in der Hoehe bei $y = [mm] -38\,\text{m}$ [/mm] sein muss, denn da trifft er ja auf den Hang auf.
>
> Dann hätte ich also
>
> (1) v * cos 25° * t = 81.5m
Genau, das sagt, dass der Stein nach der Zeit $t$ die (horizontale) Strecke [mm] $x=90\.\text{m}\cdot\cos\phi \approx 81.5\,\text{m}$ [/mm] zurueckgelegt hat.
> (2) - [mm]\bruch{1}{2}*g*t^2+v[/mm] * sin(25°) *t = -38.5m
Genau, das sagt ja aus, dass nach dieser Flugzeit $t = [mm] \frac{81.5}{v\cos25^\circ}\,\text{s}$ [/mm] die 'Tiefe' [mm] $-38.5\,\text{m}$ [/mm] erreicht hat.
Jetzt aber noch einen Hinweis:
Du hast hier die Winkel verwechselt: In deine beiden Formeln geht doch der Abwurfwinkel ein, also die [mm] $\alpha=35^\circ$ [/mm] und nicht der Winkel des Hangs, der hat damit doch gar nichts zu tun! D.h. in deinen Formel musst du die [mm] $25^\circ$ [/mm] durch die [mm] $35^\circ$ [/mm] Abwurfwinkel ersetzen.
Wenn du dann deine (ansonsten) richtigen Formel aufloest, sollte das Ergebnis herauskommen.
LG
Kroni
>
> Wenn ich das löse, komme ich auf t=1,8s und auf v=49,4
> m/s
>
> Habe ich mich verrechnet, oder habe ich es doch falsch
> verstanden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Sa 21.08.2010 | | Autor: | mero |
Ach ja! Klar! Menno.. ich war immer so auf die 25° fixiert, dass mir gar nicht aufgefallen ist, dass der Abwurfwinkel da rein muss! Jetzt kommt es hin!
Jetzt hab ich es! So wollte ich es auch ausdrücken.. hat nur nicht ganz geklappt! Danke sehr!
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