schwache Gesetz großer Zahlen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Fr 13.12.2013 | | Autor: | ivanhoe |
| Aufgabe | mit Hilfe der charakteristischen Funktionen das schwache Gesetz der großen Zahlen zeigen:
[mm] (X_n)_{n \in \IN} [/mm] stochastisch unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit [mm] E[|X_1|] [/mm] < [mm] \infty [/mm] , so gilt
[mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_i \to [/mm] E[X] in Verteilung |
Hallo erstmal,
also ich weiß, dass man das mittels charakteristischer Funktionen schaffen soll. Nach einem Satz aus dem Skript reicht es zu zeigen, dass die charakteristischen Funktionen punktweise konvergieren.
Jetzt ist die charakteristische Funktion von einem [mm] X_k [/mm] gerade [mm] E[e^{itX_k}] [/mm] und wenn ich mich nicht irre, die charakteristische Funktion von [mm] \overline{X} [/mm]
[mm] \produkt_{k=1}^{n} E[e^{it\bruch{1}{n}X_k}]
[/mm]
aber ich verstehe nicht, wie ich weiterkomme. Wir hatten auch eine Formel für den Erwartungswert, um ihn in Abhängigkeit von der charakteristischen Funktion darzustellen:
E[X] = [mm] \bruch{\psi(0)}{i} [/mm] ( aus [mm] E[X^r] [/mm] = [mm] \bruch{\psi ^{(r)}(0)}{i^r} [/mm] )
Ich wäre für eine Idee, wie ich hier weiterkomme, sehr dankbar.
viele Grüße,
Ivanhoe
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Hiho,
> und wenn ich mich nicht irre, die charakteristische Funktion von [mm]\overline{X}[/mm] [mm]\produkt_{k=1}^{n} E[e^{it\bruch{1}{n}X_k}][/mm]
$= [mm] \left(\psi\left(\bruch{t}{n}\right)\right)^n$
[/mm]
> E[X] = [mm]\bruch{\psi(0)}{i}[/mm] ( aus [mm]E[X^r][/mm] = [mm]\bruch{\psi ^{(r)}(0)}{i^r}[/mm]
Da fehlt eine Ableitung: [mm]E[X] = \bruch{\psi'(0)}{i}[/mm]
Zeige nun: Obiges Konvergiert gegen unteres für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Tipp: Taylor.
Gruß,
Gono.
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