schwierige Ableitung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
ich versuche einen Beweis nachzuvollziehen und dabei habe ich Probleme bei einer Ableitung. Ich hoffe jemand kann mir etwas helfen.
ich benötige die Ableitung von:
[mm] u_{k} [/mm] = ((1 - [mm] \bruch{z}{a_{k}}) exp\summe_{l=1}^{h_{k}} \bruch{1}{l+1} (\bruch{z}{a_{k}})^{l+1})^{n_{k}}
[/mm]
-> die aüßere Ableitung bekomme ich ja hin, aber mit der inneren Ableitung habe ich Probleme, vor allem wie das mit der Ableitung von Summen ist, weiß ich nicht genau.
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Hallo Butterbrot23, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
kurz: die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.
Es gilt ja: [mm] (f_1+f_2)'=f_1'+f_2'
[/mm]
Kommst Du damit weiter?
Fiese Funktion übrigens. Gab's da keine abgespeckte Version?
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 Do 10.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Hallo Butterbrot,
kommt Deine Frage aus dem Dunstkreis "Produktsatz von Weierstraß" (ganze Funktionen mit vorgegebenen Nullstellen [mm] a_k [/mm] mit den Ordnungen [mm] n_k [/mm] ) ?
FRED
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ganz genau!
dabei ist ja [mm] \bruch{u'_{k}}{u_{k}} [/mm] = [mm] h_{k}
[/mm]
Und ich möchte eben davon die Ableitung bilden, damit ich auf 'dieses' [mm] h_{k} [/mm] komme. Das ist etwas schwierig...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Sa 12.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ganz genau!
> dabei ist ja [mm]\bruch{u'_{k}}{u_{k}}[/mm] = [mm]h_{k}[/mm]
> Und ich möchte eben davon die Ableitung bilden, damit ich
> auf 'dieses' [mm]h_{k}[/mm] komme. Das ist etwas schwierig...
Dann ist es aber einfacher, direkt die logarithmische Ableitung zu bilden, denn
[mm] \bruch{u'_{k}}{u_{k}} = (\log u_k)' [/mm]
Direkt geht's natürlich auch. Am besten kürzt du die Summe im Exponenten mit $s(z)$ ab:
[mm] u_k = \left((1-\bruch{z}{a_{k}}) \exp s(z)\right)^{n_{k}} [/mm]
Und damit ist
[mm] u'_k = n_k \left((1-\bruch{z}{a_{k}}) \exp s(z)\right)^{n_{k}-1} \left (-\bruch{1}{a_{k}} \exp s(z) + (1-\bruch{z}{a_{k}}) \exp s(z) * s'(z) \right)[/mm]
Also:
[mm] \bruch{u'_{k}}{u_{k}} = \bruch{n_ke^{ s(z)}}{(1-\bruch{z}{a_{k}}) e^{s(z)}} \left((1-\bruch{z}{a_{k}})s'(z) -\bruch{1}{a_{k}} \right) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Danke! das hat mir geholfen.
Ich habe dazu noch ein Beispiel im Internet gefunden, diesen Weierstraßschen Produktsatz anzuwenden an dem Beispiel von [mm] sin(\pi [/mm] z)
Das Beispiel ist im Skript:
www.math.uni-wuppertal.de/~fritzsch/ft204_12.pdf
auf Seite 8
Die Funktion f(z) := [mm] sin(\pi [/mm] z) hat als Nullstellenverteilung lauter einfache
Nullstellen, und zwar in allen ganzen Zahlen v [mm] \in \IZ. [/mm] Die Summe [mm] \summe_{v\not=0}^{} (\bruch{r}{|v|})^{2} [/mm] = [mm] 2r^{2}\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{v^{2}} [/mm] konvergiert für jedes feste r.
>Meine Frage, warum lautet es nach der '=' Bedingung [mm] 2r^{2} [/mm] ? man zieht das 'r' aus der Summe, aber woher stammt diese 2? Die Summe läuft doch gegen unendlich.
Und weswegen brauche ich diese Summe überhaupt? Sie taucht ja in der weiteren Anwendung der Formal gar nicht auf.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Mo 14.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Die Funktion f(z) := [mm]sin(\pi[/mm] z) hat als
> Nullstellenverteilung lauter einfache
> Nullstellen, und zwar in allen ganzen Zahlen v [mm]\in \IZ.[/mm]
> Die Summe [mm]\summe_{v\not=0}^{} (\bruch{r}{|v|})^{2}[/mm] =
> [mm]2r^{2}\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{v^{2}}[/mm] konvergiert
> für jedes feste r.
>
> >Meine Frage, warum lautet es nach der '=' Bedingung [mm]2r^{2}[/mm]
> ? man zieht das 'r' aus der Summe, aber woher stammt diese
> 2? Die Summe läuft doch gegen unendlich.
In der ersten Summe wird über alle ganzen Zahlen ungleich 0 summiert, in der zweiten über alle positiven ganzen Zahlen. Da aber [mm] $|-v|^2 [/mm] = [mm] |v|^2 [/mm] = [mm] v^2$ [/mm] ist, kannst du die beiden Terme mit $+v$ und $-v$ zusammenfassen.
Viele Grüße
Rainer
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