schwieriges Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Mo 23.10.2006 | | Autor: | tkone |
Hallo ich bin Student der physikalischen Technik und stehe vor einem mathematischen Problem.
Da das Problem selbst sehr stark physikalischer Natur ist, möchte ich euch nicht mit Formeln vollteten und gebe nur eine vereinfachte schreibweise an.
Das die Gleichung so zustande kommt ist 100% gesichert und mehrfach von anderen kontrolliert wurden.
Ich brauche zu der Gleichung nur einen Ansatz, damit ich selbst weitermachen kann.
a, b, c, d & e sind konstanten.
[mm] \integral_{}^{}{(r+a)*(1-(\bruch{dr}{b})+(\bruch{dr^{2}}{c})-(\bruch{dr^{3}}{d})+(\bruch{dr^{4}}{e}))}
[/mm]
Ich bin mir nicht sicher, ob ich diese Frage auch auf www.matheforum.de gestellt habe, da dort mein Abo abgelaufen ist und ich nicht mehr nachschauen kann.
deshalb schreibe ich den crossposting satz von oben als nicht woanders gepostet ab.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Mo 23.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich seh hier nirgends ne Gleichung. Als Integral allein macht es auch keinen Sinn. Was istZ. Bsp mit [mm] dr^{2} [/mm] gemeint [mm] d(r^{2})=2r*dr [/mm] oder was sonst?
Vielleicht hast du zu stark vereinfacht?
Also schreib das Problem doch noch mal klarer auf!
> Ich brauche zu der Gleichung nur einen Ansatz, damit ich
> selbst weitermachen kann.
>
> a, b, c, d & e sind konstanten.
>
> [mm]\integral_{}^{}{(r+a)*(1-(\bruch{dr}{b})+(\bruch{dr^{2}}{c})-(\bruch{dr^{3}}{d})+(\bruch{dr^{4}}{e}))}[/mm]
>
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Mo 23.10.2006 | | Autor: | tkone |
tut mir leid.
also ich versuche es mal.
Die Gleichung hieß am Anfang
[mm] L(r)=\summe_{}^{}(r+a)*P
[/mm]
mit P= [mm] 1-(\bruch{\Delta r}{b})+(\bruch{(\Delta r)^2}{c})-(\bruch{(\Delta r)^3}{d})+(\bruch{(\Delta r)^4}{e})
[/mm]
geht man nun von einer Änderung [mm] \Delta [/mm] r über zu einer infinitesimal kleinen Änderung dr wird aus der [mm] \summe_{}^{} [/mm] das [mm] \integral_{}^{}{}
[/mm]
es ist also [mm] (dr)^2 [/mm] gleichbedeutend mit (dr*dr)
Will ich nun die Gleichung für L in Abhängigkeit von r erhalten, muss ich die Stammfunktion finden.
Mein Problem sind nun die Potenzen bei dem (dr)
Ich weis nicht, wie ich die lösen soll.
Ich hatte mal die Idee, dass man evtl. mehrfach das Integral ziehen muss.
Also zBsp bei [mm] \integral_{}^{}{}r*(dr)^2 [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{}r*dr*dr [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{}[0,5*r^2]*(dr) [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*r^3
[/mm]
Aber da weis ich nicht, ob das überhaupt mathematisch korrekt ist, wenn in einer Formel 5 mal das dr vorkommt und immer mit einer anderen Potenz verknüpft ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Mo 23.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo tkone
> [mm]L(r)=\summe_{}^{}(r+a)*P[/mm]
Über was wird hier denn summiert?
Das Integral [mm] f(r)=\integral_{xo}^{r}{f(x) dx}ist [/mm] (etwas ungenau) definiert als Grenzwert n gegen Unendlich der [mm] \summe_{i=0}^{n}f(xi)*\Delta [/mm] xi oder [mm] \summe_{i=0}^{n}f(xo+i*\Delta x)*\Delta [/mm] x wenn [mm] \Deltax=(x-xo)/n
[/mm]
> mit P= [mm]1-(\bruch{\Delta r}{b})+(\bruch{(\Delta r)^2}{c})-(\bruch{(\Delta r)^3}{d})+(\bruch{(\Delta r)^4}{e})[/mm]
>
> geht man nun von einer Änderung [mm]\Delta[/mm] r über zu einer
> infinitesimal kleinen Änderung dr wird aus der
> [mm]\summe_{}^{}[/mm] das [mm]\integral_{}^{}{}[/mm]
so einfach ist das nicht! Integrale mit [mm] (dx)^2 [/mm] kenn ich nicht .
Wenn das ne Funktion von r ergeben soll, muss r in den Grenzen unten oder oben vorkommen.
Vielleicht muss doch eure Herleitung anders werden! Ich kann mir kein physikalisches Problen vorstellen, in dem [mm] (\Deltar)^3 [/mm] vorkommt!
> es ist also [mm](dr)^2[/mm] gleichbedeutend mit (dr*dr)
>
> Will ich nun die Gleichung für L in Abhängigkeit von r
> erhalten, muss ich die Stammfunktion finden.
Da du keine fkt hast, die man mit dem Integralbegriff in Verbindung bringen kann hast du auch keine Stammfkt!
Wenn das r ne Länge ist, musst du nachprüfen ob deine "Konstanten" Dimensionen haben, so dass alle Summanden die gleiche Dimension haben. denn normalerweise kann man ja [mm] \Delta [/mm] r und [mm] (\Delta r)^2 [/mm] nicht addieren!
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:35 Di 24.10.2006 | | Autor: | tkone |
Nun die Gleichung setzt sich aus 2 Teilen zusammen, die beide in einem Buch über Vakuumtechnik stehen.
Die Funktion ist (r+a) und P ist eine Wahrscheinlichkeit, die von [mm] \Delta [/mm] r abhängt.
P ist eigentlich eine unendliche Reihe, die aufgrund ihrer Genauigkeit nach dem 5. Glied abgebrochen wird.
exakt ist P= 1 - [mm] (\bruch{(\Delta r)}{2}) [/mm] + [mm] (\bruch{(\Delta r)^2}{4}) [/mm] - [mm] (\bruch{(\Delta r)^3}{8}) [/mm] + [mm] (\bruch{(\Delta r)^4}{16}) [/mm] - [mm] (\bruch{(\Delta r)^5}{32}) [/mm] + [mm] \ldots
[/mm]
[mm] L=\summe_{r=0}^{l} [/mm] (r+a) * P
wenn man alles ausformuliert, dann steht da:
[mm] L=\summe_{r=0}^{l} [/mm] (r+a) - [mm] \bruch{r+a}{2}*\Delta [/mm] r + [mm] \bruch{r+a}{4}*(\Delta r)^2 [/mm] - [mm] \bruch{r+a}{8}*(\Delta r)^3 [/mm] + [mm] \bruch{r+a}{16}*(\Delta r)^4
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Di 24.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das Problem ist wohl nicht durch ein Integral zu lösen:
z.Bsp.: ersetze [mm] \Delta [/mm] r durch l/n und betracht die Summe:
[mm] $\summe_{i=0}^{n}(i*l/n+a)*(l/n)^2=l^3/n^3*\summe_{i=0}^{n}i+l^2/n^2*a\summe_{i=1}^{n}1$
[/mm]
ergibt $ [mm] l^3/n^3*n*(n+1)/2 +a*l^2/n^2*n$
[/mm]
beide Ausdrücke verschwinden für n gegen unendlich.
Das was man beim integral macht, dass die Summe einen GW hat gibt es hier nicht. Also sehe ich keinen vernünftigen Weg zu ner Integraldarstellung.
Macht dein P denn für [mm] \Delta [/mm] r gegen 0 noch einen Sinn? Oder wie kommt man auf die Darstellung?
(Ich sehe grade, dass deine Summe über r von 0 bis n geht. wenn das wirklich so gemeint ist, dann hat das mit [mm] \Delta [/mm] r ja nix zu tun, oder ich versteh deine Summation nicht.)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:23 Mi 25.10.2006 | | Autor: | tkone |
Also erstmal Danke für deine Hilfe.
Mit der Summe von 0 bis n ist nur gemeint, dass [mm] \Delta [/mm] r bis zu einem beliebigen Wert n gesteigert werden soll.
Für [mm] \Delta [/mm] r [mm] \to \infty [/mm] wird P = 1
Aber wenn der ganze Ausdruck hier nicht passt, dann hab ich ja meine Antwort :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:55 Mi 25.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Jetzt versteh ich gar nix mehr! wenn [mm] \Delta [/mm] r gegen [mm] \infty [/mm] gehen soll hat das doch mit Integral nix zu tun, und deine formel für P ergibt sicher nicht 1!
Also vergiss das ganze und fang von vorne an. Aber dann mit Angaben darüber was r, [mm] \Delta [/mm] r sind, und was sie miteinander zu tun haben.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Mi 25.10.2006 | | Autor: | tkone |
Du hast recht.
Ich hab mich verschrieben. Wenn [mm] \Delta [/mm] r [mm] \to [/mm] 0 geht, dann wird P = 1
Das ganze ist ein Rohr, durch das ein Teilchen fliegt.
Das Rohr weitet sich mit zunehmender Länge r auf (wie ein Kegelstumpf).
P ist die wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen durch das Rohr kommt.
Da es leider nur Gleichungen für gleichbleibende Rohrquerschnitte gibt, habe ich das Rohr in n [mm] \Delta [/mm] r Stücke zerlegt, für die ich Näherungsweise die Wahrscheinlichkeit ausrechnen kann.
Ein Gesetz der Strömungslehre besagt, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ist.
Ich wollte nun eine Allgemeine Gleichung für dieses Rohr herleiten, so wie ich es vor einigen Jahren in der Schule gemacht habe.
[mm] \Delta [/mm] r [mm] \to [/mm] 0 bzw n [mm] \to \infty [/mm] laufen lassen, was am Ende zum Integral führt(laut meinen Aufzeichnungen ;) )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Mi 25.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
In deinem Problem müssen doch 2 Parameter stecken: Rohrlänge L UND Rohrradius r
theoretisch müsste doch P mit wachsendem L abnehmen und mit wachsenden r zunehmen, oder täuscht mich meine Anschauung?
Jetzt unterteilst du doch die Länge in Stücken [mm] \Delta [/mm] L, und r hängt von L ab.
Das spiegelt aber auch deine Summenformel nicht wieder. Und wie man dabei auf [mm] \Delta r^3 [/mm] oder [mm] \Delta L^3 [/mm] kommen kann ist völlig unklar. Ich versteh nicht sehr viel von Hydrodynamik, aber wenn P nicht von L abhängt ist P durch das kleinste r festgelegt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:44 Do 26.10.2006 | | Autor: | tkone |
Ich versuchs mal komplett
[Dateianhang nicht öffentlich]
Allgemein: Die beiden Platten bilden den Spalt und Gas strömt von der Bohrung zwischen ihnen hindurch. Die Ausbreitung ist somit radial und die Teilchenfront bildet einen Zylindermantel. Somit vergrößert sich der Rohrquerschnitt mit zunehmendem Abstand. Man muss deswegen das Rohr als Serienschaltung vieler sehr kurzer rechteckiger Rohre der
Länge [mm] \Delta [/mm] r sehen, deren Öffnung aus dem Umfang der Kreisfläche an der Stelle [mm] r+r_{0} [/mm] und der Spalthöhe [mm] b_{s} [/mm] besteht. Dies führt im Endeffekt zum Integral über die Strecke r.
A ist der Flächeninhalt der Eingangsöffnung
c ist die mittl. therm. Geschwindigkeit
P ist die Wahrscheinlichkeit des Rohrdurchganges
[mm] \lambda [/mm] ist ein Abmaßeverhältnis des Rohres
L = [mm] \summe_{i=r_{0}}^{r_{0}+r} \bruch{\overline{c}}{4}*A*P
[/mm]
A = [mm] 2*\pi*b_{s}*(r+r_{0})
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{Länge des Rohres}{Höhe des Rohres} [/mm] = [mm] \bruch{\Delta r}{b_{s}}
[/mm]
P = 1 - [mm] \bruch{\lambda}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\lambda^2}{4} [/mm] - [mm] \bruch{\lambda^3}{8} [/mm] + [mm] \bruch{\lambda^4}{16}
[/mm]
L = [mm] \summe_{i=r_{0}}^{r_{0}+r} \overline{c} [/mm] * [mm] \bruch{\pi*b_{s}*(r+r_{0})}{2} [/mm] * (1 - [mm] \bruch{\Delta r}{2*b_{s}} [/mm] + [mm] \bruch{\Delta r^2}{4*b_{s}^2} [/mm] - [mm] \bruch{\Delta r^3}{8*b_{s}^3} [/mm] + [mm] \bruch{\Delta r^4}{16*b_{s}^4})
[/mm]
Die Werte [mm] \overline{c}, b_{s}, r_{0} [/mm] sind Konstanten.
L hängt somit von der Gesamtlänge r ab und den gewählten "kurzen" Rohrstücken.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Do 26.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich weiss immer noch nicht genau was L sein soll. Aufgefallen ist mir aber, dass wenn ich ein Rohr mit konstantem Querschnitt betrachte, das einmal als Gesamtrohr der Länge l berechnet wird, und ich das Rohr in 2 oder mehr Teile unterteile, dass dann L sich verändert, wenn du deine Rechnung anwendest, also in 3 Stücke dxer Länge [mm] \Delta [/mm] r =l/3 unterteilst.Ich versteh nicht, warum sich die Wahrscheinlichkeiten addieren! Wenn du 2 Rohre parallel legst, also ein Rohr hast das etwa einen dreieckigen Querschnitt hat, würde ich das verstehen.
Also klär mich auf.
Ausserdem hast du deine Summe noch immer so geschrieben, dass nichts drin steht, über das man summieren kann, das müsste so aussehen wie i*(R-r0)/n oder ähnlich.
[mm] \summe_{r=1}^{R}f(r) [/mm] ist ein sinnloser Ausdruck.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Do 26.10.2006 | | Autor: | tkone |
L ist der Leitwert. Es ist das reziproke vom Strömungswiderstand. (ähnlich in der Elektrootechnik)
Es gelten sogar die gleichen Beziehungen.
Bei einer Reihenschaltung meiner n Rohre der Länge [mm] \Delta [/mm] r hat jedes Rohr einen Leitwert [mm] L_{i}.
[/mm]
Gut jetzt hab ich auch einen Fehler gefunden.
[mm] \bruch{1}{L} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{L_{i}} [/mm] muss es heisen.
Sorry
Ok ich mach mal weiter.
[mm] \bruch{1}{L} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\summe_{i=0}^{n} \bruch{\overline{c}}{4}*A_{i}*P_{i}}
[/mm]
wobei [mm] P_{i} [/mm] = konst. , da [mm] \Delta [/mm] r und [mm] b_{s} [/mm] = konst.
[mm] A_{i} [/mm] = [mm] 2*\pi*b_{s}*(r_{i} [/mm] + [mm] r_{0})
[/mm]
und [mm] r_{i} [/mm] = i * [mm] \Delta [/mm] r
Das würde dann ergeben [mm] \bruch{1}{L} [/mm] = [mm] \bruch{1}{ \summe_{i=0}^{n} \bruch{\overline{c}}{4}*2*\pi*b_{s}*(i * \Delta r + r_{0})*P}
[/mm]
Ist doch soweit richtig, oder?
Ist jetzt hoffentlich verständlicher.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Do 26.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> L ist der Leitwert. Es ist das reziproke vom
> Strömungswiderstand. (ähnlich in der Elektrootechnik)
>
> Es gelten sogar die gleichen Beziehungen.
> Bei einer Reihenschaltung meiner n Rohre der Länge [mm]\Delta[/mm]
> r hat jedes Rohr einen Leitwert [mm]L_{i}.[/mm]
>
> Gut jetzt hab ich auch einen Fehler gefunden.
>
> [mm]\bruch{1}{L}[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{L_{i}}[/mm] muss es
> heisen.
> Sorry
> Ok ich mach mal weiter.
>
> [mm]\bruch{1}{L}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\summe_{i=0}^{n} \bruch{\overline{c}}{4}*A_{i}*P_{i}}[/mm]
Hier wird es falsch; 1/l1+1/l2 [mm] \ne [/mm] 1/(L1+L2)
> wobei [mm]P_{i}[/mm] = konst. , da [mm]\Delta[/mm] r und [mm]b_{s}[/mm] = konst.
>
> [mm]A_{i}[/mm] = [mm]2*\pi*b_{s}*(r_{i}[/mm] + [mm]r_{0})[/mm]
>
> und [mm]r_{i}[/mm] = i * [mm]\Delta[/mm] r
>
> Das würde dann ergeben [mm]\bruch{1}{L}[/mm] = [mm]\bruch{1}{ \summe_{i=0}^{n} \bruch{\overline{c}}{4}*2*\pi*b_{s}*(i * \Delta r + r_{0})*P}[/mm]
>
> Ist doch soweit richtig, oder?
Nur wenn du wirklich schreibst:
$1/L= [mm] 1/k*summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{r0+i*(R-r0)/n}$ [/mm] mit k alle konstanten zusammengefasst.
Zusammen mit P(n) find ich dazu keinen GW.
P sieht so aus als sei es ne Taylorentwicklung, weisst du von was, oder wie man auf P kommt?
Inzwischen ist das wohl nicht mehr die Suche nach dem Integral, sonder eigentlich über die richtige Formel..
Man müsste den "spezifischen Widerstand" kennen und darüber dann integrieren bei wachsender Fläche. Denn mit deiner formel hat man schon Schwierigkeiten aus n gleichen Stücken den Gesamtwiderstand zu berechnen.
denn eigentlich muss ja bei k facher Länge L zu L/k werden, also R zu R*k
das kommt aber mit deinem P und den [mm] \lambda [/mm] und [mm] \lambda^2 [/mm] usw nicht hin!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:18 Fr 27.10.2006 | | Autor: | tkone |
Ich glaub du hast Recht. Das ist nicht mehr zum Thema bzw. Forum.
Ich muss mich doch nochmal hinsetzen und alles durchdenken.
Ich danke dir für deine Hilfe.
MfG Kay
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