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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Do 16.07.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Sei V endlich-dimensionaler, unitärer Vektorraum. Hat die Abbildung
[mm] $f\in [/mm] End(V)$ zwei der drei Eigenschaften: selbstadjungiert, unitär,
es gilt [mm] $f^{2}=id,$ [/mm] so hat sie auch die dritte. |
Hallo,
erstmal gilt: selbstadjungiert: [mm] $\langle f(v),w\rangle=\langle v,f(w)\rangle$
[/mm]
für [mm] $v,w\in [/mm] V.$
unitär: [mm] $\langle f(v),f(w)\rangle=\langle v,w\rangle.$\\
[/mm]
Ich wollte damit anfangen, dass $f$ unitär und selbstadjungiert ist,
und dann zeigen, dass [mm] $f^{2}=id$ [/mm] ist. Man wird wohl irgendwie mit
dem Skalarprodukt argumentieren müssen, aber ich weiß nicht wie. Ich
denke mal, wenn ich diesen Fall hinbekomme, kann ich die anderen alleine
machen.
Es gilt doch nicht [mm] $f(v)^{2}=\langle f(v),f(v)\rangle,$ [/mm] oder? Wäre
auch schlecht, weil dann [mm] $f^{2}=id^{2}$ [/mm] folgen würde.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:54 Fr 17.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei V endlich-dimensionaler, unitärer Vektorraum. Hat die
> Abbildung
> [mm]f\in End(V)[/mm] zwei der drei Eigenschaften: selbstadjungiert,
> unitär,
> es gilt [mm]f^{2}=id,[/mm] so hat sie auch die dritte.
> Hallo,
>
> erstmal gilt: selbstadjungiert: [mm]\langle f(v),w\rangle=\langle v,f(w)\rangle[/mm]
>
> für [mm]v,w\in V.[/mm]
>
> unitär: [mm]\langle f(v),f(w)\rangle=\langle v,w\rangle.[/mm][mm] \\[/mm]
>
>
> Ich wollte damit anfangen, dass [mm]f[/mm] unitär und
> selbstadjungiert ist,
> und dann zeigen, dass [mm]f^{2}=id[/mm] ist. Man wird wohl
> irgendwie mit
> dem Skalarprodukt argumentieren müssen, aber ich weiß
> nicht wie. Ich
> denke mal, wenn ich diesen Fall hinbekomme, kann ich die
> anderen alleine
> machen.
>
> Es gilt doch nicht [mm]f(v)^{2}=\langle f(v),f(v)\rangle,[/mm] oder?
Was soll [mm] $f(v)^2$ [/mm] sein? Wenn du [mm] $f^2(v)$ [/mm] meinst: nein.
> Wäre
> auch schlecht, weil dann [mm]f^{2}=id^{2}[/mm] folgen würde.
Es gilt [mm] $f^2 [/mm] := f [mm] \circ [/mm] f$, falls dir das nicht klar war.
Wenn $f$ selbstadjungiert ist, kannst du $f$ unitaer diagonalisieren. Das brauchst du in beiden Richtungen, wo $f$ als selbstadjungiert vorausgesetzt wird.
In dem Fall kannst du naemlich etwas ueber die Diagonalmatrix aussagen (jeweils unitaer bzw. [mm] $f^2 [/mm] = id$ benutzen, das gilt dann ja auch fuer die Diagonalmatrix und dann gibt es nicht mehr sooo viele Moeglichkeiten).
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:07 Fr 17.07.2009 | | Autor: | fred97 |
1) Sei f unitär und selbstadjungiert, also $f = [mm] f^{\*}$ [/mm] und [mm] $f^{\*} \circ [/mm] f = id$
Dann folgt sofort: $f [mm] \circ [/mm] f = id$
2) Sei f salbstadjungiert und $f [mm] \circ [/mm] f = id$. Aus $f = [mm] f^{\*}$ [/mm] folgt: [mm] $f^{\*} \circ [/mm] f = id$, f ist also unitär.
Die Implikation
f unitär und $f [mm] \circ [/mm] f = id$ [mm] \Rightarrow [/mm] f selbstadjungiert
solltest Du nun selbst hinbekommen
FRED
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