selbstadjungiert/eigenwerte < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Di 16.07.2013 | | Autor: | drossel |
| Aufgabe | Sei [mm] dim_\mathbb{C}V [/mm] < [mm] \infty [/mm] , <,> hermitesche Form auf V, [mm] f\in [/mm] End(V).
es existiere ein [mm] h\in [/mm] End(V) , sodaß [mm] f=h\circ [/mm] h* (h* ist die adjungierte Abbildung zu h),
beweise oder wiederlege:
1) f selbstadjungiert
2)f diagonalisierbar
3) [mm] \in \mathbb{R}_{\ge 0} \forall v\in [/mm] V.
4) Eigenwerte von f sind [mm] \in \mathbb{R}_{\ge 0}
[/mm]
5) Sei nun f selbstadjungiert mit Eigenwerten [mm] \in \mathbb{R}_{>0} [/mm] . Gibt es ein [mm] h\in [/mm] End(V) mit [mm] f=h\circ [/mm] h* ? |
zur 1 ) habe ich schon gezeigt, dass es stimmt
zur 2) auch ok, wahr
zur 4) Edit2: weiss, das der Spektralsatz nicht ausschließt, dass Eigenwerte negativ sein können. Wie ist das jetzt mit der Voraussetzung [mm] f=h\circ [/mm] h*? stimmt die Aussage dann nicht wieder?
wie geht man denn bei 3) vor?
Und bei 5)
f selbstadjungiert heißt <f(v),w>=<v,f(w)> für alle v,w [mm] \in [/mm] V. Und man hat
[mm] f(v)=\lambda [/mm] v , [mm] \lambda \in \mathhbb{R}_{>0}.
[/mm]
Um eine Intuition zu bekommen: Wenn ich das ganze mit Matrizen mache, bedeutet dass ja [mm] A=B*\overline{B}^t [/mm]
A Darstellungsmatrix von f und B entsprechend für g bezüglich geeigneter Basen. Ich denke die umgekehrte Richtung der Aussage stimmt, aber so wie es das steht weiss ich leider nicht.
Kann mir jemand einen Tip geben?
Mfg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:35 Mi 17.07.2013 | | Autor: | fred97 |
Zu 3)
<f(v),v>=<hh*v,v>=<h*v,h*v> [mm] \ge [/mm] 0
Zu 4)
Ist [mm] f(v)=\lambda [/mm] v, so folgt mit 3):
[mm] \lambda [/mm] <v,v>=<f(v),v>=<h*v,h*v> [mm] \ge [/mm] 0
Zu 5)
Sei n=dim V, seien [mm] \lambda_1,..., \lambda_n [/mm] die Eigenwerte von f und sei [mm] v_1,...,v_n [/mm] eine ONB von V aus Eigenvektoren von f, also [mm] f(v_j)=\lambda_j v_j [/mm] und [mm] \lambda_j [/mm] >0
Dann:
[mm] f(v)=\summe_{j=1}^{n} \lambda_j *v_j [/mm] für jedes v [mm] \in [/mm] V.
Probier mal
[mm] h(v):=\summe_{j=1}^{n} \wurzel{\lambda_j} *v_j [/mm]
aus.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:42 Mi 17.07.2013 | | Autor: | drossel |
Danke, habe alles bis auf der 3 verstanden. Wieso ist <h*(v),h*(v)> [mm] \ge [/mm] 0 ?
|
|
|
| |
|
Hiho,
schau dir nochmal die Definition des Skalarprodukts an!
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 Mi 17.07.2013 | | Autor: | drossel |
Achso stimmt .. Danke sehr
|
|
|
|
