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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:44 So 21.10.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Def.: [mm] \phi_1 [/mm] , [mm] \phi_2 [/mm] selbstadjungiert
[mm] \phi_1 \ge \phi_2 [/mm] falls [mm] \phi_1 [/mm] - [mm] \phi_2 \ge [/mm] 0
Zeige:Gilt [mm] \phi_1 \ge \phi_2 [/mm] , [mm] \psi_1 \ge \psi_2
[/mm]
=> [mm] \phi_1 [/mm] + [mm] \psi_1 \ge \phi_2 [/mm] + [mm] \psi_1
[/mm]
Edit:
Im vorigen Korollar hatten wir
Dann wenn [mm] \phi_1 \ge [/mm] 0 und [mm] \phi_2 \ge [/mm] 0 => [mm] \phi_1 [/mm] + [mm] \phi_2 \ge [/mm] 0
Und ist [mm] \lambda \ge [/mm] 0 und [mm] \phi \ge [/mm] 0 dann auch [mm] \lambda \phi \ge [/mm] 0
Unsere Definition:
V endlich dimensionaler euklidischer o. unitärer Vektorraum. [mm] \phi:V->V [/mm] linear heißt semi positiv falls [mm] \phi^{\*} [/mm] = [mm] \phi [/mm] und <v, [mm] \phi(v) [/mm] > [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V, wir schreiben [mm] \phi \ge [/mm] 0 |
[mm] \phi_1 \ge \phi_2 [/mm]
bedeutet [mm] \phi_1 [/mm] - [mm] \phi_2 \ge [/mm] 0
[mm] \psi_1 \ge \psi_2
[/mm]
bedeutet [mm] \psi_1 [/mm] - [mm] \psi_2 \ge [/mm] 0
Zuzeigen: [mm] \phi_1 [/mm] + [mm] \psi_1 \ge \phi_2 [/mm] + [mm] \psi_1
[/mm]
das bedeutet: [mm] \phi_1 [/mm] + [mm] \phi_2 [/mm] - [mm] \psi_1 [/mm] - [mm] \psi_2 \ge [/mm] 0
Wie soll ich denn auf das zuzeigende kommen??
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:55 Mo 22.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Wir setzen $f:= [mm] \phi_1 +\psi_1$ [/mm] und $g:= [mm] \phi_2 [/mm] + [mm] \psi_2 [/mm] $
Zeige: <v,f(v)> [mm] \ge [/mm] <v,g(v)> für alle v [mm] \in [/mm] V.
Benutze dabei, dass für reelle Zahlen a,b,c,d gilt:
a [mm] \ge [/mm] b , c [mm] \ge [/mm] d [mm] \Rightarrow [/mm] a+c [mm] \ge [/mm] b+d
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:50 Sa 27.10.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Eine Frage dazu:
Aber ich sollte doch die Definiton in der Angabe:
> $ [mm] \phi_1 \ge \phi_2 [/mm] $ falls $ [mm] \phi_1 [/mm] $ - $ [mm] \phi_2 \ge [/mm] $ 0
verwenden? Was hat dein Ansatz damit dann noch zu tun?
> <v,f(v)> $ [mm] \ge [/mm] $ <v,g(v)>
<=> <v, [mm] (\phi_1 [/mm] + [mm] \psi_1) [/mm] (v) > [mm] \ge [/mm] < v, [mm] (\phi_2 [/mm] + [mm] \psi_2) [/mm] (v) >
<=> <v, [mm] \phi_1 [/mm] (v)+ [mm] \psi_1 [/mm] (v) > [mm] \ge [/mm] < v, [mm] \phi_2 [/mm] (v) + [mm] \psi_2 [/mm] (v) >
<=> < [mm] v,\phi_1 [/mm] (v) > + <v, [mm] \psi_1 [/mm] (v) > [mm] \ge [/mm] < v, [mm] \phi_2 [/mm] (v) > + <v, [mm] \psi_2 [/mm] (v)>
Nun weiß ich < v, [mm] \phi_1 [/mm] (v) > [mm] \ge [/mm] < v, [mm] \phi_2 [/mm] (v) >
und < v, [mm] \psi_1 [/mm] (v) > [mm] \ge [/mm] < v, [mm] \psi_2 [/mm] (v) >
Nun verwende ich deinen Hinweis und bin fertig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 29.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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