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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Mi 31.10.2007 | | Autor: | batjka |
| Aufgabe | (a) V ein Innenprodukt und [mm] \phi ,\psi \in [/mm] End(V). Beweisen oder widerlegen Sie:
1.) sind [mm] \phi ,\psi [/mm] selbstadjungiert, so ist es auch [mm] \phi \circ \psi
[/mm]
2.) sind [mm] \phi ,\psi [/mm] selbstadjungiert und positiv definit, so ist es auch [mm] \phi+\psi
[/mm]
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zu (a)1: sei v [mm] \in [/mm] V. dann gilt: [mm] <\psi(\phi(v)),v>= <\phi(v),\psi(v)>= [/mm] => [mm] \phi \circ \psi [/mm] selbstadj.
zu (a)2: [mm] <(\phi+\psi)(v),v>=<\phi(v)+\psi(v),v>= [/mm] da komme ich nicht weiter. wahrscheinlich ist die Behauptung falsch, aber ich komme nicht drauf, wie ich das beweisen soll.
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Mi 31.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> (a) V ein Innenprodukt und [mm]\phi ,\psi \in[/mm] End(V). Beweisen
> oder widerlegen Sie:
>
> 1.) sind [mm]\phi ,\psi[/mm] selbstadjungiert, so ist es auch [mm]\phi \circ \psi[/mm]
>
> 2.) sind [mm]\phi ,\psi[/mm] selbstadjungiert und positiv definit,
> so ist es auch [mm]\phi+\psi[/mm]
>
> zu (a)1: sei v [mm]\in[/mm] V. dann gilt: [mm]<\psi(\phi(v)),v>= <\phi(v),\psi(v)>=[/mm]
> => [mm]\phi \circ \psi[/mm] selbstadj.
Vorsicht! Links steht [mm]\psi\circ\phi[/mm], rechts steht [mm]\phi \circ \psi[/mm], das ist nicht gleich!
Nimm doch mal als Beispiel eines Vektorraums die Ebene und betrachte als Endomorphismen einfache geometrische Operationen wie Streckung oder Verschiebung.
> zu (a)2: [mm]<(\phi+\psi)(v),v>=<\phi(v)+\psi(v),v>=[/mm] da komme
> ich nicht weiter. wahrscheinlich ist die Behauptung falsch,
> aber ich komme nicht drauf, wie ich das beweisen soll.
[mm]<(\phi+\psi)(v),v>=<\phi(v)+\psi(v),v>=<\phi(v),v>+<\psi(v),v>[/mm]
Und jetzt nutzt du aus, dass beide Endomorphismen selbstadjungiert und positiv definit sind.
Viele Grüße
Rainer
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