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| Aufgabe | | Sei n eine natürliche Zahl. Gebe für jede n ein separables Polynom f element Q[t] mit deg(f)=2n und [mm] Gal(f/Q)=C_{2} [/mm] an. |
Hallo zusammen!
Ehrlich gesagt weiß ich gar nicht wie ich da anfangen soll...
Also nach Definition heißt f sepabel wenn es in seinem Zerfällungskörper nur einfache Nullstellen hat.
Soll ich zuerst den Zerfällungskörper bestimmen, in dem ich die Nullstellen ausrechne, oder wie geh ich da vor?
Ich hoffe ihr könnt mir auch bissle helfen....
Vielen Dank für eure Mühe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:07 Fr 03.02.2006 | | Autor: | DerHein |
Was ist [mm] $C_2$ [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Fr 03.02.2006 | | Autor: | m-student |
[mm] C_{n} [/mm] stellt die Falilie der endlich zyklischen Gruppen dar. Das sind alle Drehungen um einen Punkt um Vielfache von [mm] \bruch{360°}{n}.
[/mm]
[mm] C_{2} [/mm] ist dann eine Symmetriegruppe einer Punktspiegelung.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Fr 03.02.2006 | | Autor: | DerHein |
Naja Falls f nicht als irreduziebel vorrausgesetzt ist, kann man
sowas recht leicht konstruieren:
[mm] $f=x^2+1$
[/mm]
hat Zerfällungskörper [mm] $\IQ(i)$. [/mm] Und [mm] $Gal(\IQ(i)/\IQ)=\IZ/2\IZ=C_2$.
[/mm]
Das Polynom [mm] $f=(x-n)^2+1$ [/mm] hat den selben Zerfällungskörper
da die Nullstellen in [mm] $\IC$ [/mm] gegeben sind durch [mm] $\pm [/mm] i+n [mm] \in \IQ(i)$.
[/mm]
Also hat [mm] $f=(x^2+1)((x-1)^2+1)\cdots((x-n+1)^2+1)$
[/mm]
auch Zerfällungskörper [mm] $\IQ(i)$ [/mm] und Somit Galoisgruppe [mm] $C_2$
[/mm]
mfg Hein
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ok, dass f Zerfällungskörper Q(i) hat, kann ich gut folgen, aber wie kommst du drauf, dass [mm] Gal(Q(i)/Q)=C_{2} [/mm] ist?
Könntest du mir das genauer erklären??
Danke für die Mühe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Fr 03.02.2006 | | Autor: | DerHein |
Die Ordnung der Galoisgruppe ist auf jeden Fall kleiner 2, da
[mm] $x^2+1$ [/mm] grad 2 hat. Die beiden Elemente sind aber gut bekannt:
Die Identität und die Komplexe Konjugation $i [mm] \rightarrow [/mm] -i$.
Die einzige Gruppe mit Zwei Elementen ist aber [mm] $\IZ/2\IZ [/mm] = [mm] C_2$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Fr 03.02.2006 | | Autor: | m-student |
Danke für die Hilfe!
mfg
m-student
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