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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Di 30.06.2009 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega [/mm] überabzählbar, [mm] E=\{\{x\},x\in\Omega\}. [/mm] Dann gilt:
[mm] \sigma(E)=\{A\in\Omega: A \text{ ist abzählbar oder } A^c \text{ ist abzählbar}\}=:B [/mm]
(Weiß nicht, wie ich die Menge richtig mit dem Editor hinschreiben kann)
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Hallo,
also ich möchte obiges beweisen.
Habe zunächst gezeigt, dass B eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist.
Wie zeigt man die [mm] \sigma- [/mm] Vereinungsstabilität? Also sei [mm] A_i [/mm] Folge in B.
Reicht es zu sagen, dass o.B.d.A. [mm] A_i [/mm] abzählbar sind ?
Dann ist ja auch die Vereinigung der [mm] A_i [/mm] wieder abzählbar.
Aber es könnten ja auch alle [mm] A_i [/mm] bis auf [mm] A_1 [/mm] abzählbar sein. Und ich müsste ja eigentlich zeigen, dass [mm] \bigcup_{n}A_n [/mm] abzählbar oder dass [mm] \bigcap_{n}A^{c}_n [/mm] abzählbar ist....
Nun zum Beweis, dass [mm] B=\sigma(E)
[/mm]
Es gilt ja [mm] E\subset [/mm] B [mm] \Rightarrow \sigma (E)\subset\sigma(B)=B
[/mm]
Aber warum gilt: [mm] B\subset \sigma(E)?
[/mm]
Wäre toll, wenn ihr mir weiterhelfen würdet.
Gruß
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Di 30.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]\Omega[/mm] überabzählbar, [mm]E=\{\{x\},x\in\Omega\}.[/mm] Dann
> gilt:
> [mm]\sigma(E)=\{A\in\Omega A ist abzählbar oder A^c ist abzählbar}=:B[/mm]
>
> (Weiß nicht, wie ich die Menge richtig mit dem Editor
> hinschreiben kann)
so:
[mm] $$\sigma(E)=\{A\in\Omega: A \text{ ist abzählbar oder } A^c \text{ ist abzählbar}\}\,.$$
[/mm]
(Warum das [mm] $\text{ä}$ [/mm] hier immer großgeschrieben wird, weiß ich nicht.^^)
> Wie zeigt man die [mm]\sigma-[/mm] Vereinungsstabilität? Also sei
> [mm]A_i[/mm] Folge in B.
> Reicht es zu sagen, dass o.B.d.A. [mm]A_i[/mm] abzählbar sind ?
> Dann ist ja auch die Vereinigung der [mm]A_i[/mm] wieder
> abzählbar.
Bzgl. der rotmarkierten Frage: Nein. Du mußt einfach Fallunterscheidungen machen:
1. Fall: Alle [mm] $A_i$ [/mm] sind abzählbar. Dann ist auch [mm] $\bigcup_{i \in \IN}A_i$ [/mm] als abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen wieder abzählbar.
2. Fall: Es gebe ein $j [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $A_j$ [/mm] nicht abzählbar ist. Dann ist wegen [mm] $A_j \in [/mm] B$ allerdings [mm] $A_j^c$ [/mm] abzählbar. Daraus ergibt sich:
[mm] $$(\star)\;\;\;\Big(\bigcup_{i \in \IN} A_i\Big)^c=\bigcap_{i \in \IN} A_i^c \subset A_j^c\,.$$
[/mm]
Kannst du in [mm] $(\star)$ [/mm] das [mm] $\,=\,$ [/mm] begründen? Und auch das [mm] $\subset$? [/mm] Wenn Du nun [mm] $X:=\bigcup_{i \in \IN} A_i$ [/mm] setzt, dann wolltest Du ja $X [mm] \in [/mm] B$ begründen. Nun zeigt [mm] $(\star)$ [/mm] aber gerade, dass [mm] $X^c$ [/mm] eine Teilmenge der (abzählbaren) Menge [mm] $A_j^c$ [/mm] ist. Wieso folgt damit nun $X [mm] \in [/mm] B$?
P.S.:
Nur der Ergänzung wegen:
Da alle [mm] $A_i \in [/mm] B$ sind, gilt insbesondere [mm] $A_i \subset \Omega$ [/mm] für jedes [mm] $i\,$ [/mm] und damit auch [mm] $X=\bigcup_{i \in \IN} A_i \subset \Omega\,.$ [/mm] (Das Zeichen [mm] $\subset$ [/mm] schließt bei mir Mengengleichheit nicht aus!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Di 30.06.2009 | | Autor: | Fry |
Erstmal vielen Dank für deine Antwort, Marcel !
> Hallo,
>
> > Sei [mm]\Omega[/mm] überabzählbar, [mm]E=\{\{x\},x\in\Omega\}.[/mm] Dann
> > gilt:
> > [mm]\sigma(E)=\{A\in\Omega A ist abzählbar oder A^c ist abzählbar}=:B[/mm]
> >
> > (Weiß nicht, wie ich die Menge richtig mit dem Editor
> > hinschreiben kann)
>
> so:
> [mm]\sigma(E)=\{A\in\Omega: A \text{ ist abzählbar oder } A^c \text{ ist abzählbar}\}\,.[/mm]
>
> (Warum das [mm]\text{ä}[/mm] hier immer großgeschrieben wird,
> weiß ich nicht.^^)
>
> > Wie zeigt man die [mm]\sigma-[/mm] Vereinungsstabilität? Also sei
> > [mm]A_i[/mm] Folge in B.
> > Reicht es zu sagen, dass o.B.d.A. [mm]A_i[/mm] abzählbar sind
> ?
> > Dann ist ja auch die Vereinigung der [mm]A_i[/mm] wieder
> > abzählbar.
>
> Bzgl. der rotmarkierten Frage: Nein. Du mußt einfach
> Fallunterscheidungen machen:
>
> 1. Fall: Alle [mm]A_i[/mm] sind abzählbar. Dann ist auch [mm]\bigcup_{i \in \IN}A_i[/mm]
> als abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen wieder
> abzählbar.
>
> 2. Fall: Es gebe ein [mm]j \in \IN[/mm] so, dass [mm]A_j[/mm] nicht
> abzählbar ist. Dann ist wegen [mm]A_j \in B[/mm] allerdings [mm]A_j^c[/mm]
> abzählbar. Daraus ergibt sich:
> [mm](\star)\;\;\;\Big(\bigcup_{i \in \IN} A_i\Big)^c=\bigcap_{i \in \IN} A_i^c \subset A_j^c\,.[/mm]
>
> Kannst du in [mm](\star)[/mm] das [mm]\,=\,[/mm] begründen?
De Morgan
>Und auch das
> [mm]\subset[/mm]?
Der Durchschnitt enthält nun mal alle [mm] A_i
[/mm]
Angenommen, dass nun für die Teilfolge [mm] (A_i_k)k [/mm] gilt: [mm] A^{c}_i_{k} [/mm] abzählbar.
Dann ist gilt ja doch nach selber Argumentation auch: [mm] \bigcap_{i}A_i=\bigcap_{k}A_i_{k} \in [/mm] B oder ?
Wenn Du nun [mm]X:=\bigcup_{i \in \IN} A_i[/mm] setzt, dann
> wolltest Du ja [mm]X \in B[/mm] begründen. Nun zeigt [mm](\star)[/mm] aber
> gerade, dass [mm]X^c[/mm] eine Teilmenge der (abzählbaren) Menge
> [mm]A_j^c[/mm] ist. Wieso folgt damit nun [mm]X \in B[/mm]?
Definition der Menge...
> P.S.:
> Nur der Ergänzung wegen:
> Da alle [mm]A_i \in B[/mm] sind, gilt insbesondere [mm]A_i \subset \Omega[/mm]
> für jedes [mm]i\,[/mm] und damit auch [mm]X=\bigcup_{i \in \IN} A_i \subset \Omega\,.[/mm]
> (Das Zeichen [mm]\subset[/mm] schließt bei mir Mengengleichheit
> nicht aus!)
>
> Gruß,
> Marcel
Hat jemand vielleicht ne Antwort auf meine zweite Frage ?
Danke!
VG
Fry
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Di 30.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Erstmal vielen Dank für deine Antwort, Marcel !
bitte 
> > Hallo,
> >
> > > Sei [mm]\Omega[/mm] überabzählbar, [mm]E=\{\{x\},x\in\Omega\}.[/mm] Dann
> > > gilt:
> > > [mm]\sigma(E)=\{A\in\Omega A ist abzählbar oder A^c ist abzählbar}=:B[/mm]
> > >
> > > (Weiß nicht, wie ich die Menge richtig mit dem Editor
> > > hinschreiben kann)
> >
> > so:
> > [mm]\sigma(E)=\{A\in\Omega: A \text{ ist abzählbar oder } A^c \text{ ist abzählbar}\}\,.[/mm]
>
> >
> > (Warum das [mm]\text{ä}[/mm] hier immer großgeschrieben wird,
> > weiß ich nicht.^^)
> >
> > > Wie zeigt man die [mm]\sigma-[/mm] Vereinungsstabilität? Also sei
> > > [mm]A_i[/mm] Folge in B.
> > > Reicht es zu sagen, dass o.B.d.A. [mm]A_i[/mm] abzählbar
> sind
> > ?
> > > Dann ist ja auch die Vereinigung der [mm]A_i[/mm] wieder
> > > abzählbar.
> >
> > Bzgl. der rotmarkierten Frage: Nein. Du mußt einfach
> > Fallunterscheidungen machen:
> >
> > 1. Fall: Alle [mm]A_i[/mm] sind abzählbar. Dann ist auch [mm]\bigcup_{i \in \IN}A_i[/mm]
> > als abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen wieder
> > abzählbar.
> >
> > 2. Fall: Es gebe ein [mm]j \in \IN[/mm] so, dass [mm]A_j[/mm] nicht
> > abzählbar ist. Dann ist wegen [mm]A_j \in B[/mm] allerdings [mm]A_j^c[/mm]
> > abzählbar. Daraus ergibt sich:
> > [mm](\star)\;\;\;\Big(\bigcup_{i \in \IN} A_i\Big)^c=\bigcap_{i \in \IN} A_i^c \subset A_j^c\,.[/mm]
>
> >
> > Kannst du in [mm](\star)[/mm] das [mm]\,=\,[/mm] begründen?
>
> De Morgan
Genau!
> >Und auch das
> > [mm]\subset[/mm]?
>
> Der Durchschnitt enthält nun mal alle [mm]A_i[/mm]
Ja, kurzgesagt: Das ergibt sich sofort aus der Definition des Durchschnittes!
> Angenommen, dass nun für die Teilfolge [mm](A_i_k)k[/mm] gilt:
> [mm]A^{c}_i_{k}[/mm] abzählbar.
> Dann ist gilt ja doch nach selber Argumentation auch:
> [mm]\bigcap_{i}A_i=\bigcap_{k}A_{i_{k}} \in[/mm] B oder ?
Wieso sollte hier [mm] $\bigcap_{i}A_i\red{=}\bigcap_{k}A_{i_{k}}$ [/mm] gelten? Wenn, dann gehört da [mm] $\bigcap_{k}A_{i_k} \supset \bigcap_{i}A_i$ [/mm] hin; und dass dann auch [mm] $\bigcap_k A_{i_k} \in [/mm] B$ gilt, ist doch klar, wenn man weiß, dass für jede Folge [mm] $(A_n)_n$ [/mm] in [mm] $B\,$ [/mm] dann auch [mm] $\bigcup_n A_n \in [/mm] B$ gilt (denn $R [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow R^c \in [/mm] B$ hast Du ja schon bewiesen, und meine obige Behauptung folgt dann wieder mit de Morgan).
Aber mit welchem Hintergrund/Gedanken stellst Du die Frage?
Durch meine Fallunterscheidungen werden alle Fälle abgehandelt:
Ist nämlich [mm] $(A_i)_i$ [/mm] eine Folge in [mm] $B\,,$ [/mm] so gilt entweder:
Alle [mm] $A_i$ [/mm] sind abzählbar, oder eben: nicht alle [mm] $A_i$ [/mm] sind abzählbar.
Der 2. Fall: Nicht alle [mm] $A_i$ [/mm] sind abzählbar, bedeutet:
[mm] $\neg \text{(}\forall [/mm] i [mm] \in \IN:\;A_i$ [/mm] ist [mm] abzählbar$\text{)}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $\exists [/mm] j [mm] \in \IN: A_j$ [/mm] ist nicht abzählbar (man beachte, dass "es existiert ein" im mathematischen Sinne, also als "es existiert mindestens ein" zu lesen ist!).
> Wenn Du nun [mm]X:=\bigcup_{i \in \IN} A_i[/mm] setzt, dann
> > wolltest Du ja [mm]X \in B[/mm] begründen. Nun zeigt [mm](\star)[/mm] aber
> > gerade, dass [mm]X^c[/mm] eine Teilmenge der (abzählbaren) Menge
> > [mm]A_j^c[/mm] ist. Wieso folgt damit nun [mm]X \in B[/mm]?
>
> Definition der Menge...
Nicht ganz, bzw. Du überspringst da ein (kleines) Argument: Weil [mm] $A_j^c$ [/mm] abzählbar ist, folgt aus [mm] $X^c \subset A_j^c$ [/mm] auch, dass [mm] $X^c$ [/mm] abzählbar ist. Und damit folgt dann nach Definition der Menge [mm] $B\,,$ [/mm] dass $X [mm] \in [/mm] B$.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:11 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Fry |
Ok, danke, Marcel.
Alsp ich hatte mir gedacht, dass dem Fall von dir nicht Beweis drin steckt, dass für mehr als ein j [mm] A_j [/mm] nicht abzählbar ist. Warum folgt, dass denn daraus?
Vg
Fry
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:49 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, danke, Marcel.
>
> Alsp ich hatte mir gedacht, dass dem Fall von dir nicht
> Beweis drin steckt, dass für mehr als ein j [mm]A_j[/mm] nicht
> abzählbar ist. Warum folgt, dass denn daraus?
irgendwie bist Du etwas "verwirrt" mit der mathematischen Logik. Wenn Du eine Folge [mm] $(A_i)$ [/mm] in [mm] $B\,$ [/mm] hernimmst, dann kann man sagen:
Entweder sind alle [mm] $A_i$ [/mm] abzählbar, oder es gilt halt nicht, dass alle [mm] $A_i$ [/mm] abzählbar sind.
Der Fall, dass alle [mm] $A_i$ [/mm] abzählbar sind, ist abgehandelt (abzählbare Vereinigungen abzählbarer Mengen sind abzählbar).
Es bleibt also noch der Fall, dass nicht alle [mm] $A_i$ [/mm] abzählbar sind, zu behandeln. Rein mathematisch:
[mm] $\neg (\forall [/mm] i [mm] \in \IN: A_i \text{ ist abzählbar})$
[/mm]
und jetzt, weil [mm] $\neg \forall\;=\;\exists$, [/mm] erhältst Du
[mm] $\gdw \exists [/mm] j [mm] \in \IN: \neg(A_j \text{ ist abzählbar})$
[/mm]
[mm] $\gdw \exists [/mm] j [mm] \in \IN: A_j \text{ ist nicht abzählbar}\,.$
[/mm]
Weil [mm] $A_j \in [/mm] B$ ist das äquivalent zu
[mm] $\exists [/mm] j [mm] \in \IN: A_j^c \text{ ist abzählbar}\,.$
[/mm]
Dieses [mm] $\exists [/mm] j [mm] \in \IN$ [/mm] bedeutet, wie schon erwähnt, "es existiert mindestens ein $j [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass ..."
Das ergibt sich doch alles aus wohlbekannten Regeln der ![[]](/images/popup.gif) (mathematischen) Logik bzw. klassischen Logik, und der Definition der Menge [mm] $B\,.$
[/mm]
Und der Fall [mm] $\neg (\forall [/mm] i [mm] \in \IN: A_i \text{ ist abzählbar})$ [/mm] (bzw. in äquivalenter Form [mm] $\exists [/mm] j [mm] \in \IN: A_j^c \text{ ist abzählbar}$, [/mm] was sich eben aus den obigen Argumenten bzgl. der Logik und der Definition von [mm] $B\,$ [/mm] ergibt) enthält auch den Fall, dass für mehrere [mm] $j\,$'s [/mm] die zugehörigen [mm] $A_j^c$ [/mm] abzählbar sind.
Nichtsdestotrotz kannst Du auch hergehen, und den Fall [mm] $\exists [/mm] j [mm] \in \IN: A_j^c \text{ ist abzählbar}$ [/mm] in zwei Teilfälle [mm] $\alpha)$ [/mm] und [mm] $\beta)$ [/mm] unterteilen:
Fall [mm] $\alpha)$: [/mm] Es existiert genau ein $j$, so dass [mm] $A_j$ [/mm] abzählbar ist. Hier geht's genauso weiter wie in der Antwort oben.
Fall [mm] $\beta)$: [/mm] Sei $M [mm] \subset \IN$ [/mm] so, dass $|M|=n [mm] \in \IN_{\ge 2}$ [/mm] oder [mm] $M\,$ [/mm] gleichmächtig zu [mm] $\IN$ [/mm] ist und dass zudem gilt:
Für alle $m [mm] \in [/mm] M$ ist [mm] $A_m^c$ [/mm] abzählbar. Dann wähle irgendein $j [mm] \in [/mm] M$ (wegen $|M| [mm] \ge [/mm] 2 [mm] \ge [/mm] 1$ ist $M [mm] \not=\emptyset$) [/mm] und auch dann geht es wörtlich so weiter wie in der Antwort oben.
Dann siehst Du auch nochmal, dass die Unterteilung von [mm] "$\exists [/mm] j [mm] \in \IN$ [/mm] mit ..." in
Fall [mm] $\alpha):$ [/mm] "es existiert genau ein $j [mm] \in \IN$ [/mm] mit ..."
Fall [mm] $\beta):$ [/mm] "es gibt mehr als ein $j [mm] \in \IN$ [/mm] mit ..."
selbstverständlich bzgl. des Beweises in der obigen Antwort unnötig ist. Was sich, wie gesagt, eben schon allgemein aus der Logik ergibt, wobei das [mm] "$\exists [/mm] j [mm] \in \IN$" [/mm] eben als "es existiert mindestens ein $j [mm] \in \IN$..." [/mm] zu verstehen ist.
(Bei anderen Beweisen kann es sein, dass die Unterteilung des Falles [mm] "$\exists [/mm] j [mm] \in \IN$" [/mm] in entsprechende Teilunterfälle (wie z.B. oben [mm] $\alpha)$ [/mm] bzw. [mm] $\beta)$) [/mm] sinnvoll ist. Bzgl. des obigen Beweises ist eine solche Unterteilung in Unterfälle aber unnötig.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:17 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo,
also mir sind schon die Regeln der Logik bekannt :).
Bei Frage zielte allein darauf ab, dass ich beim zweiten Fall wissen wollte, ob ich die Argumentation genauso lassen kann, was ich jetzt auch erkannt habe.
Danke
Gruß
Fry
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> also mir sind schon die Regeln der Logik bekannt :).
das ist gut; aber erfahrungsgemäß kann ich dir sagen, dass es auch in höheren Semestern Studenten gibt, denen diese Regeln zwar bekannt sind, die sie aber dennoch manchmal leider falsch anwenden oder sich verwirren lassen. Das ist ja auch nicht schlimm und kann durchaus mal vorkommen, wir sind alle nur Menschen. Es sollte sich halt nicht häufen und zudem sollten solche Fehler beseitigt werden und man sollte versuchen, ihnen wieder den 'Durchblick' zu verschaffen. Bei Dir habe ich dann lieber unnötig zuviel dazu gesagt, als wenn ich es einfach ignoriert hätte und gesagt hätte, er wird's schon wissen...
> Bei Frage zielte allein darauf ab, dass ich beim zweiten
> Fall wissen wollte, ob ich die Argumentation genauso lassen
> kann, was ich jetzt auch erkannt habe.
Okay. Aber wie kamst Du überhaupt auf den Gedanken, dass man da vll. verschiedene Argumente braucht? Liegt es vll. nur an der Formulierung? D.h. wäre es für Dich vll. besser gewesen, wenn ich geschrieben hätte:
"2. Fall: Seien nicht alle [mm] $A_i$ [/mm] abzählbar. Dann enthält die Menge [mm] $M:=\{i \in \IN: A_i^c \text{ ist abzählbar}\} \subset \IN$ [/mm] mindestens ein Element. Wir wählen irgendein $j [mm] \in [/mm] M$..." ?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:09 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Fry |
Jap, genau das hatte mich etwas verwirrt, aber jetzt habs ichs geschnallt : ).
Gruß
Fry
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Di 30.06.2009 | | Autor: | Blech |
Hi,
> [mm]\sigma(E)=\{A\in\Omega: A \text{ ist abz"ahlbar oder } A^c \text{ ist abz"ahlbar}\}=:B[/mm]
[mm] $B\subseteq \sigma(E)$ [/mm] gilt, weil Du jede abzählbare Menge als Vereinigung von Elementen in E schreiben kannst.
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:17 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Fry |
Danke schöön, Stefan : )
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