sigma-Algebra, Erweiterung < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Di 14.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Sei [mm] (X,\matcal{A},\mu) [/mm] ein Maßraum [mm] (\mu \not= \infty). [/mm] Setze
[mm] \mathcal{N}:=\{N\in \mathcal{A}:\mu(N)=0\}
[/mm]
[mm] \mathcal{\overline{N}}:=\{M:M\subseteq N fuer ein N\in \mathcal{N}\}
[/mm]
[mm] \mathcal{\overline{A}}:=\{A\cup M:A\in \mathcal{A},M\in \mathcal{\overline{N}}\}
[/mm]
Zeigen Sie:
(i) [mm] \mathcal{\overline{A}} [/mm] ist eine [mm] \sigma [/mm] Algebra über X.
(ii) [mm] \mu [/mm] hat eine eindeutige Erweiterung zu einem Maß [mm] \overline{\mu} [/mm] auf [mm] \mathcal{\overline{A}}, [/mm] für welches gilt:
[mm] \overline{\mu}(E)=0 (E\in \mathcal{\overline{A}}), F\subseteq E\Rightarrow F\in \mathcal{\overline{A}} [/mm] (*)
Maße mit der Eigenschaft in (*) heißen vollständig und der obige Maßraum heißt Vervollständigung von [mm] (X,\mathcal{A},\mu). [/mm] |
Hallo!
Ich benötige wieder Hilfe.
Zu (i):
Was muss ich zeigen, damit bewiesen ist, dass [mm] \mathcal{\overline{A}} [/mm] eine [mm] \sigma [/mm] Algebra ist?
Zu (ii):
Ich habe hier leider gar keine Idee.
Wer kann mir einen Ansatz liefern?
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Huhu,
> Zu (i):
>
> Was muss ich zeigen, damit bewiesen ist, dass
> [mm]\mathcal{\overline{A}}[/mm] eine [mm]\sigma[/mm] Algebra ist?
Da wirst du wohl die [mm] $\sigma$-Algebra-Eigenschaften [/mm] nachrechnen müssen.
> Zu (ii):
>
> Ich habe hier leider gar keine Idee.
> Wer kann mir einen Ansatz liefern?
Naja, zeige erstmal die Eindeutigkeit.
D.h. sei [mm] \overline{\xi} [/mm] ein anderes Maß mit diesen Eigenschaften, dann gilt [mm] $\overline{\xi} [/mm] = [mm] \overline{\mu}$
[/mm]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:03 Di 14.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Das bedeutet:
Bei (i) muss ich zeigen:
a) [mm] X\in \mathcal{\overline{A}} [/mm]
b) [mm] A\in \mathcal{\overline{A}}\Rightarrow A^{C}\in \mathcal{\overline{A}} [/mm]
c) [mm] (A_j)\in \mathcal{\overline{A}}\Rightarrow \bigcup_{j\in \IN} A_j\in \mathcal{\overline{A}} [/mm]
Bei (ii) muss ich die Eindeutigkeit zeigen, das heißt doch nichts Anderes, als die Wohldefiniertheit zu zeigen?
Wenn ich das gezeigt habe, muss ich "nur noch" zeigen, dass die Eigenschaft (*)für [mm] \overline{\mu} [/mm] gilt? |
Danke für den Denkanstoß.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:21 Di 14.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Bei (i) versuche ich mal vorzurechnen, um zu sehen, ob ich auf dem richtigen Weg bin.
Beweis zu (i):
(a) ist doch eigentlich schon von der Definition her offensichtlich. "Offensichtlich" ist zwar das gefährlichste Wort in der Mathematik, aber ich weiß nicht, was man hier noch zeigen sollte.
(b)
Zu zeigen ist: [mm] A\in \mathcal{\overline{A}}\Rightarrow A^{C}\in \mathcal{\overline{A}} [/mm]
Ich nehme ein [mm] A_d\in \mathcal{\overline{A}}. [/mm] Dann gibt es ja [mm] A\in \mathcal{\overline{A}}, N\in \mathcal{N} [/mm] und ein [mm] M\subseteq N [/mm], s.d. [mm] A_d=A\cup M [/mm].
[mm] M\subseteq N\Rightarrow M^{C}=N^{C}\cup (N\cap M^{C}) [/mm] sowie [mm] A_{d}^{C}=A^{C}\cap M^{C}=(A^{C}\cap N^{C})\cup (A^{C}\cap N\cap M^{C}).
[/mm]
Wenn A und N in [mm] \mathcal{A} [/mm] enthalten sind, dann ist es auch [mm] A^{C}\cap N^{C} [/mm] und [mm] A^{C}\cap N\cap M^{C}\subseteq \overline{\mathcal{N}}, [/mm] weil N ja eine Nullmenge (also in [mm] \mathcal{N}) [/mm] mit [mm] A^{C}\cap N\cap M^{C}\subseteq [/mm] N ist.
[mm] \Rightarrow A_{d}^{C}\in \mathcal{\overline{A}} [/mm]
(c)
Zu zeigen ist: [mm] (A_j)\in \mathcal{\overline{A}}\Rightarrow \bigcup_{j\in \IN}A_j\in \mathcal{\overline{A}} [/mm]
Dafür denke ich, braucht man eine beliebige Folge in [mm] \mathcal{\overline{A}}, [/mm] z.B. [mm] (D_j). [/mm] Dann gibt es wieder (ich würde sagen, das ist sehr ähnlich zu (b)) eine Folge [mm] (A_j) [/mm] in [mm] \mathcal{A}, [/mm] eine Folge [mm] (N_j) [/mm] in [mm] \mathcal{N} [/mm] und eine Folge [mm] (M_j) [/mm] mit [mm] M_j\subseteq N_j [/mm] und [mm] D_j=A_j\cup M_j [/mm] für jedes [mm] j\in \IN.
[/mm]
Und [mm] \bigcup N_j [/mm] ist dann ja eine Nullmenge (denn die einzelnen [mm] N_j [/mm] sind es ja). Und außerdem beinhaltet diese Vereinigung [mm] \bigcup M_j.
[/mm]
Weil [mm] \mathcal{A} [/mm] ja nun eine [mm] \sigma [/mm] Algebra ist folgt:
[mm] \bigcup D_j=(\bigcup A_j)\cup (\bigcup M_j)\in \mathcal{\overline{A}}.
[/mm]
Damit traue ich mich mal, [mm] \Box [/mm] zu schreiben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 16.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 16.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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