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| Aufgabe | Buch: Lambacher Schweizer / Kursstufe 2010
Bsp.: S. 350 Nr. 3d) |
Hallo liebe Leute,
ich habe eine Frage zur Bestimmung der [mm] \sigma-Intervalle [/mm] bei der Binomialverteilung.
Ich habe die Lösungen zum Schulbuch - kann sie aber in einigen wenigen Fällen nicht nachvollziehen (zuerst dachte ich an Druckfehler - dem scheint aber nicht so zu sein).
Bsp.:
B(100 ; 0,2) [mm] $\mu \;= \;20$ [/mm] und [mm] $\sigma \; [/mm] = [mm] \; [/mm] 4$
Nun dachte ich, das [mm] 1-\sigma-Intervall [/mm] solle [mm] [\mu-\sigma [/mm] ; [mm] \mu+\sigma] [/mm] lauten, also: [16 ; 24] .
In der Lösung steht aber: [17 ; 24] .
Dort wird also die untere ganze Zahl 16 auf die nächsthöhere ganze Zahl 17 aufgerundet - hingegen die obere ganze Zahl 24 so belassen.
Diese Vorgehensweise wiederholt sich in den nachfolgenden Aufgaben noch einige Male (also wenn die untere Intervallgrenze eine natürliche Zahl ist).
Könnte mir bitte dieses Vorgehen jemand plausibel machen?
Vielen Dank im voraus.
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
vielleicht würde das Ganze besser durchschaubar, wenn du
uns eine vollständige Aufgabenstellung angeben würdest,
bei welcher beim Ergebnis diese (vermeintliche ?) Diskrepanz
auftritt.
LG Al-Chw.
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| Aufgabe 1 | Aufgabe 3
Eine binomialverteilte Zufallsvariable hat die angegebenen Parameter. Berechnen Sie Erwartungswert, Standardabweichung und die [mm] k*\sigma-Intervalle [/mm] für k = 1;2;3. Skizzieren Sie die Kontur des Säulendiagramms mit den [mm] \sigma-Intervallen. [/mm] Vergleichen Sie die Wahrscheinlichkeit für das [mm] k*\sigma-Intervall [/mm] mit dem Näherungswert, den die Sigma-Regeln liefern.
d) n = 100 ; p = 0,2 |
| Aufgabe 2 | Aufgabe 4
Das Glücksrad in Fig. 1 [mm] \left(\frac{2}{3} \;\; blau\; \;und \;\;\frac{1}{3}\; \;rot \right) [/mm] wird n-mal gedreht. Die Zufallsvariable X zählt, wie oft Rot erscheint (Treffer).
a) Bestimmen Sie jeweils das [mm] \sigma-Intervall [/mm] und die zugehörige Wahrscheinlichkeit für n = 200; 400; 600; 1000.
Interpretieren Sie das Ergebnis. |
Hallo AlChwarizmi,
hier der Originaltext der Aufgaben aus dem Buch.
zu Aufgabe 4 a)
[mm] $B\left(200 \;,\; \frac{1}{3}\right)$
[/mm]
[mm] $\mu \;=\; \frac{200}{3}\; \approx \; [/mm] 66,6666...$ und [mm] $\sigma\;=\; \wurzel{200*\frac{1}{3}*\frac{2}{3}}\; =\; \frac{20}{3}\;\approx \; [/mm] 6,66666$
Das [mm] 1-\sigma-Intervall [/mm] wäre: [mm] [\mu-\sigma \; [/mm] ; [mm] \; \mu+\sigma].
[/mm]
Die untere Grenze wäre demnach also [mm] $\mu-\sigma\;=\;60$.
[/mm]
Im Lösungsbuch steht hingegen: [61 [mm] \; [/mm] ; [mm] \; [/mm] 73,3333...]
Besten Dank für eine Antwort!
LG, Martinius
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> Aufgabe 3
>
> Eine binomialverteilte Zufallsvariable hat die angegebenen
> Parameter. Berechnen Sie Erwartungswert, Standardabweichung
> und die [mm]k*\sigma-Intervalle[/mm] für k = 1;2;3. Skizzieren Sie
> die Kontur des Säulendiagramms mit den [mm]\sigma-Intervallen.[/mm]
> Vergleichen Sie die Wahrscheinlichkeit für das
> [mm]k*\sigma-Intervall[/mm] mit dem Näherungswert, den die
> Sigma-Regeln liefern.
>
> d) n = 100 ; p = 0,2
> Aufgabe 4
>
> Das Glücksrad in Fig. 1 [mm]\left(\frac{2}{3} \;\; blau\; \;und \;\;\frac{1}{3}\; \;rot \right)[/mm]
> wird n-mal gedreht. Die Zufallsvariable X zählt, wie oft
> Rot erscheint (Treffer).
>
> a) Bestimmen Sie jeweils das [mm]\sigma-Intervall[/mm] und die
> zugehörige Wahrscheinlichkeit für n = 200; 400; 600;
> 1000.
> Interpretieren Sie das Ergebnis.
> Hallo AlChwarizmi,
>
> hier der Originaltext der Aufgaben aus dem Buch.
>
>
> zu Aufgabe 4 a)
>
> [mm]B\left(200 \;,\; \frac{1}{3}\right)[/mm]
>
> [mm]\mu \;=\; \frac{200}{3}\; \approx \; 66,6666...[/mm] und
> [mm]\sigma\;=\; \wurzel{200*\frac{1}{3}*\frac{2}{3}}\; =\; \frac{20}{3}\;\approx \; 6,66666[/mm]
>
> Das [mm]\sigma-Intervall[/mm] wäre: [mm][\mu-\sigma \;[/mm] ; [mm]\; \mu+\sigma].[/mm]
>
> Die untere Grenze wäre demnach also [mm]\mu-\sigma\;=\;60[/mm].
>
> Im Lösungsbuch steht hingegen: [61 [mm]\;[/mm] ; [mm]\;[/mm] 73,3333...]
>
>
> Besten Dank für eine Antwort!
>
> LG, Martinius
Hallo Martinius,
ich muss gestehen, dass ich da auch nicht recht mitkomme.
Wenn etwa [mm] \mu=20 [/mm] und [mm] \sigma=4 [/mm] gilt, so ist natürlich [mm] \mu-\sigma=16
[/mm]
und nicht 17.
Man müsste ev. noch nachschauen, ob in dem Lehrbuch
(mit Lambacher-Schweizer hatte ich eigentlich gute Erfahrungen)
irgendwo im "Kleingedruckten" noch etwas über das Runden
der Intervallgrenzen steht.
Da die Binomialverteilung ja im Einzelfall immer ganzzahlige
Werte liefert, wäre es ja sinnvoll, die Intervallgrenzen eben-
falls ganzzahlig zu machen - also dann etwa auch 73 anstatt
73.3333... !
Ich könnte mir einen Grund für das Aufrunden der Untergrenze
(oder statt dessen auch Abrunden der Obergrenze) vorstellen:
Der Ursprung der [mm] \sigma [/mm] - Regeln liegt ja in der Approximation
der Binomial- durch die Normalverteilung. Dort entspricht die
Wahrscheinlichkeit [mm] $P(\mu-\sigma\le x\le\mu+\sigma)$ [/mm] einem Flächeninhalt
bzw. Integral über einem Intervall der Länge [mm] 2\sigma.
[/mm]
Wenn wir nun stattdessen ein Säulendiagramm der Binomial-
verteilung, etwa mit [mm] \mu=20 [/mm] und [mm] \sigma=4 [/mm] , betrachten, so nehmen
die Säulen, angefangen von x=20-4=16 bis und mit x=20+4=24,
eine Gesamtbreite von 9 ein - anstatt [mm] 2*\sigma=2*4=8 [/mm] .
Wenn also sowohl [mm] \mu-\sigma [/mm] und [mm] \mu+\sigma [/mm] ganzzahlig sind,
so macht man gegenüber der Rechnung über die Normalver-
teilung einen systematischen Fehler.
Ein Stichwort dazu wäre: "Stetigkeitskorrektur"
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 So 02.09.2012 | | Autor: | Martinius |
Hallo Al-Chwarizmi,
habe Dank für Deine Antwort.
> Hallo Martinius,
>
> ich muss gestehen, dass ich da auch nicht recht mitkomme.
Da bin ich sehr erleichtert.
> Wenn etwa [mm]\mu=20[/mm] und [mm]\sigma=4[/mm] gilt, so ist natürlich
> [mm]\mu-\sigma=16[/mm]
> und nicht 17.
> Man müsste ev. noch nachschauen, ob in dem Lehrbuch
> (mit Lambacher-Schweizer hatte ich eigentlich gute
> Erfahrungen)
> irgendwo im "Kleingedruckten" noch etwas über das Runden
> der Intervallgrenzen steht.
>
> Da die Binomialverteilung ja im Einzelfall immer
> ganzzahlige
> Werte liefert, wäre es ja sinnvoll, die Intervallgrenzen
> eben-
> falls ganzzahlig zu machen - also dann etwa auch 73
> anstatt
> 73.3333... !
>
> Ich könnte mir einen Grund für das Aufrunden der
> Untergrenze
> (oder statt dessen auch Abrunden der Obergrenze)
> vorstellen:
> Der Ursprung der [mm]\sigma[/mm] - Regeln liegt ja in der
> Approximation
> der Binomial- durch die Normalverteilung. Dort entspricht
> die
> Wahrscheinlichkeit [mm]P(\mu-\sigma\le x\le\mu+\sigma)[/mm] einem
> Flächeninhalt
> bzw. Integral über einem Intervall der Länge [mm]2\sigma.[/mm]
> Wenn wir nun stattdessen ein Säulendiagramm der
> Binomial-
> verteilung, etwa mit [mm]\mu=20[/mm] und [mm]\sigma=4[/mm] , betrachten, so
> nehmen
> die Säulen, angefangen von x=20-4=16 bis und mit
> x=20+4=24,
> eine Gesamtbreite von 9 ein - anstatt [mm]2*\sigma=2*4=8[/mm] .
> Wenn also sowohl [mm]\mu-\sigma[/mm] und [mm]\mu+\sigma[/mm] ganzzahlig
> sind,
> so macht man gegenüber der Rechnung über die Normalver-
> teilung einen systematischen Fehler.
> Ein Stichwort dazu wäre: "Stetigkeitskorrektur"
Die "Stetigkeitskorrektur" sagt mir schon was. Sie wird im Schulbuch aber erst 20 Seiten nach jener Seite erklärt, auf der die beiden oben angeführten Aufgaben stehen. (Im Lehrbuch steht die Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Kursstufe in BaWü auf gerade einmal 45 Seiten.)
> LG Al-Chw.
Ich werde die Lösungen im Lösungsbuch dann einfach mit Fragezeichen versehen.
Nochmals vielen Dank!
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 So 02.09.2012 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
bei der 2. Aufgabe ist mir in meinem Post ein Schreibfehler unterlaufen:
> Da die Binomialverteilung ja im Einzelfall immer
> ganzzahlige
> Werte liefert, wäre es ja sinnvoll, die Intervallgrenzen
> eben-
> falls ganzzahlig zu machen - also dann etwa auch 73
> anstatt
> 73.3333... !
Im Lösungsbuch wurde abgerundet auf 73. Der obere Wert war immer "richtig" abgerundet.
LG, Martinius
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