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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:20 Di 16.02.2010 | | Autor: | moerni |
Hallo. Ich habe eine Frage: Seien [mm] E_1, E_2 [/mm] Mengensysteme. Ich weiß: [mm] E_1 \subseteq \sigma (E_1) [/mm] und [mm] E_1 \subseteq \sigma (E_2). [/mm] Kann ich daraus folgern: [mm] E_1 \subseteq \sigma (E_1) \subseteq \sigma (E_2) [/mm] ?
lg moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:41 Di 16.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Moerni!
> Hallo. Ich habe eine Frage: Seien [mm]E_1, E_2[/mm] Mengensysteme.
> Ich weiß: [mm]E_1 \subseteq \sigma (E_1)[/mm] und [mm]E_1 \subseteq \sigma (E_2).[/mm]
> Kann ich daraus folgern: [mm]E_1 \subseteq \sigma (E_1) \subseteq \sigma (E_2)[/mm]
> ?
Wenn [mm] $\sigma(E)$ [/mm] die von $E$ erzeugte [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist, dann ja.
LG Felix
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 08:58 Di 16.02.2010 | | Autor: | gfm |
[mm] E_1\subseteq\sigma(E_2) \Rightarrow E_1\subseteq E_2
[/mm]
[mm] \sigma(E_2)=\sigma(E_1\cup E_2\setminus E_1)=\cap\{\mathcal{A}|E_1\cup E_2\E_1\in\mathcal{A}\}
[/mm]
[mm] E\in E_1 \Rightarrow E\in E_1\cup E_2\setminus E_1 \Rightarrow (E\in \mathcal{A} \wedge E_1\cup E_2\setminus E_1\in\mathcal{A}) \Rightarrow E\in \sigma(E_1\cup E_2\E_1)=\sigma(E_2)
[/mm]
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 09:18 Di 16.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> [mm]E_1\subseteq\sigma(E_2) \Rightarrow E_1\subseteq E_2[/mm]
Falsch. (Gegenbeispiel: [mm] $E_1=\{\emptyset\}$, $E_2=\emptyset$)
[/mm]
> [mm]\sigma(E_2)=\sigma(E_1\cup E_2\setminus E_1)=\cap\{\mathcal{A}|E_1\cup E_2\E_1\in\mathcal{A}\}[/mm]
Am Ende muss es [mm] $E_1\cup E_2\setminus E_1\subset\mathcal{A}$ [/mm] statt [mm] $E_1\cup E_2\setminus E_1\in\mathcal{A}$ [/mm] heißen.
> [mm]E\in E_1 \Rightarrow E\in E_1\cup E_2\setminus E_1 \Rightarrow (E\in \mathcal{A} \wedge E_1\cup E_2\setminus E_1\in\mathcal{A})[/mm]
??? Vermutlich hinter dem letzten Implikationspfeil gemeint: [mm] (E_1\cup E_2\setminus E_1\subset\mathcal{A}\Rightarrow E\in \mathcal{A})?
[/mm]
> [mm]\Rightarrow E\in \sigma(E_1\cup E_2\E_1)=\sigma(E_2)[/mm]
Damit ist leider nur erneut [mm] $E_1\subset\sigma(E_2)$ [/mm] gezeigt, was wir ja schon vorausgesetzt hatten...
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Di 16.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo moerni,
[mm] $\sigma(E_1)$ [/mm] ist die kleinste Sigma-Algebra, die [mm] $E_1$ [/mm] umfasst. Damit ist folgendes gemeint: Jede Sigma-Algebra [mm] $\mathcal{A}$, [/mm] die [mm] $E_1$ [/mm] umfasst [mm] ($E_1\subset\mathcal{A}$), [/mm] umfasst schon [mm] $\sigma(E_1)$ ($\sigma(E_1)\subset\mathcal [/mm] A$).
Nach deiner Voraussetzung ist [mm] $\sigma(E_2)$ [/mm] eine Sigma-Algebra, die [mm] $E_1$ [/mm] umfasst. Also gilt schon [mm] $\sigma(E_1)\subset\sigma(E_2)$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 Di 16.02.2010 | | Autor: | moerni |
Vielen Dank 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Di 16.02.2010 | | Autor: | gfm |
...meiner Antwort oben.
War wohl zu spät...
Danke
LG
gfm
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