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Forum "Uni-Stochastik" - sigma algebra
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sigma algebra: Tipp
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:41 Fr 23.10.2009
Autor: Wurzel2

Aufgabe
  a) es gibt eine menge [mm]\Omega[/mm] und eine Teilmenge € der potenzmenge so dass gilt: bedingung (i) und (ii) für sigma algebren sind erfüllt (iii) aber nicht.

b) selbe aufgabenstellung wie a nur (ii) und (iii) sind erfüllt und (i)

c) selbe aufgabenstellung wie a nur (i) und (iii) sind erfüllt und (ii) nicht

die bedingungen sind:
(i) leere menge ist in €
(ii) Wenn A in € ist folgt dass [mm] A^c [/mm] in € ist
(iii) die vereinigung der [mm] A_i [/mm] ist in €

Bei c) habe ich [mm]\Omega[/mm] =(1,2,3) gewählt und  €=([mm]\emptyset[/mm])

Bei a) und b) habe ich noch keine Idee. Und somit wollte ich fragen, was ist wenn [mm]\Omega[/mm]=([mm]\emptyset[/mm]) ist. wie sehen dazu die sigma algebren aus?

        
Bezug
sigma algebra: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 So 25.10.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
sigma algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:49 So 25.10.2009
Autor: Christoph87

Hallo,
wenn [mm]\Omega = \{\emptyset\}[/mm] dann gibt es nur die von [mm]\emptyset[/mm] erzeugte Sigma Algebra. Bei dieser kannst du auch einfach die 3 Eigenschaften einer Sigma Algebra durch gehen.

(i) Leere Menge vorhanden
(ii) Komplement der leeren Menge ist [mm]\Omega = \emptyset[/mm].
(iii) [mm]\emptyset \cup \emptyset \cup \emptyset \cup ... = \emptyset[/mm]. Diese Menge ist in der von [mm]\emptyset[/mm] erzeugten Sigma Algebra.

Jedoch findest du für a) und b) auch Beispiele für [mm]\Omega = \{1; 2; 3\}[/mm].

Mfg,
Christoph

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Bezug
sigma algebra: Teil b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:15 So 25.10.2009
Autor: kleine_ente_nora

a und c sind denke ich kein Problem, aber für b finde ich partout kein Beispiel. Da darf doch dann weder die leere Menge noch Omega enthalten sein. Wenn nun aber aus Omega={A,B,C} nur sagen wir {A} in [mm] \varepsilon [/mm] liegt, dann muss wegen (ii) auch {B,C} in [mm] \varepsilon [/mm] liegen und wegen (iii) auch {A,B,C} was wieder Omega ist. Das haut also nicht hin.
Was also dann? Ich sehe da im Moment wirklich keinen grünen Zweig.

Bezug
                        
Bezug
sigma algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 So 25.10.2009
Autor: Christoph87

Hallo,
wenn [mm]\emptyset[/mm] und [mm]\Omega[/mm] nicht in der Menge sein dürfen, dann mach sie doch einfach nicht rein ;)

Was passiert, wenn du in [mm]\varepsilon[/mm] einfach gar nichts rein machst? Also [mm]\varepsilon= \emptyset[/mm].

Hoffe ich konnte helfen.

Mfg,
Christoph

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sigma algebra: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:53 So 25.10.2009
Autor: kleine_ente_nora

Aber muss nicht Omega ohne dieses nichts auch in [mm] \varepsilon [/mm] liegen? Und liegt dann nicht Omega wieder drin?

Bezug
                                        
Bezug
sigma algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:01 So 25.10.2009
Autor: Christoph87

Hi,
das wäre der Fall, wenn du hättest [mm]\varepsilon = \{\emptyset\}[/mm]. Wenn du aber wirklich die Teilmenge [mm]\varepsilon = \{\}[/mm] hernimmst, dann ist auch für jedes Element aus der Menge das Komplement drin (da es kein Element gibt).

Hoffe, ich habe die Frage richtig verstanden.

Lg,
Christoph

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