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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Mi 03.11.2004 | | Autor: | MrPink |
Moin, muss mal wieder ne aufgabe lösen, aber ich bekomme den Formalen Beweis nicht hin. Worum es geht ist mir schon und ich verstehe es auch prinzipiell.
Sei M eine endliche Menge, f : M [mm] \to [/mm] M eine Abbildung. Definiere f hoch 1 := f und f hoch k+1 := f [mm] \circ [/mm] f hoch k für alle k Element N.
Zeige / Beweise:
1. Es gibt ein n [mm] \in [/mm] N mit [mm] f^{k+1} [/mm] (M) = [mm] f^{k} [/mm] (M) Setze N:= [mm] f^{n}(M)
[/mm]
2. f Eingeschränkt auf N : N [mm] \to [/mm] N : n [mm] \to [/mm] f(n) ist wohldefiniert und bijektiv
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:57 Do 04.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo MrPink,
> Moin, muss mal wieder ne aufgabe lösen, aber ich bekomme
> den Formalen Beweis nicht hin. Worum es geht ist mir schon
> und ich verstehe es auch prinzipiell.
>
> Sei M eine endliche Menge, f : M [mm]\to[/mm] M eine Abbildung.
> Definiere f hoch 1 := f und f hoch k+1 := f [mm]\circ[/mm] f hoch k
> für alle k Element N.
>
> Zeige / Beweise:
>
> 1. Es gibt ein n [mm]\in[/mm] N mit [mm]f^{k+1}[/mm] (M) = [mm]f^{k}[/mm] (M) Setze
> N:= [mm]f^{n}(M)
[/mm]
Das macht in meinen Augen keinen Sinn.
Du schreibst "Es gibt [mm] $n\in [/mm] N$" und [mm] "$N:=f^n(M)$".
[/mm]
Kann es sein, dass du folgendes meinst:
1. Es gibt ein [mm] $n\in\red{\IN}$ [/mm] mit [mm] $f^{\red{n}+1}(M) [/mm] = [mm] f^{\red{n}}(M)$
[/mm]
Setze [mm] $N:=f^{n}(M)$
[/mm]
(in der zweiten Zeile ist dann auch echt N gemeint und nicht [mm] $\IN$, [/mm] stimmt's?)
Diese Aussage folgt z.B. per Induktion.
Und zwar könntest du zunächst die Aussage [mm] $f^{n+1}(M)\supseteq f^{n}(M)$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] (per Induktion) zeigen.
Damit hättest du eine Folge von Mengen konstruiert, die wegen der Endlichkeit von M gegen eine Fixmenge N konvergieren muß (das mußt du natürlich noch schöner begründen).
> 2. f Eingeschränkt auf N : N [mm]\to[/mm] N : n [mm]\to[/mm] f(n) ist
> wohldefiniert und bijektiv
Die Wohldefiniertheit ist mir hier zu offensichtlich, als dass man hierzu überhaupt noch was schreiben könnte.
Man müßte hier aber schreiben, dass es die Einschränkung der Abbildung überhaupt gibt, dass der Bildbereich also tatsächlich wie implizit angenommen N ist.
Die Bijektivität würde wegen der Endlichkeit von N allein aus der Surjektivität folgen -- kannst du zeigen, dass jedes Element des Bildbereichs N tatsächlich auch von der eingeschränkten Abbildung "getroffen" wird?
Viele Grüße,
Marc
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