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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Di 01.09.2009 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | Bestimme die Menge aller ganzen Zahlen x, welche die simultanen Kongruenzen x [mm] \equiv [/mm] 2 (7), x [mm] \equiv [/mm] 1 (9), x [mm] \equiv [/mm] 3 (20) lösen. |
Hallo,
ich bin noch ganz am Anfang bei diesem Thema. Ich habe versucht nach dem Schema aus der Vorlesung diese Aufgabe zu lösen:
Berechne: [mm] n_1=180(9*20), n_2=140(7*20), n_3=63(7*9)
[/mm]
mit dem euklidischen Algorithmus finde ich: [mm] 1=3n_1-77*7, 1=2n_2-9*31, 1=-5n_3-22*20. [/mm]
nach dem chinesischen Restsatz ist die Abbildung [mm] \phi: \IZ \to \IZ|_7 [/mm] x [mm] \IZ|_9 [/mm] x [mm] \IZ_{20} [/mm] surjektiv. Eine spezielle Lösung ist: [mm] x_0=3*n_1*2+2n_2-5*3*n_3=415
[/mm]
Die homogene Lösung ist k*1260 (k [mm] \in \IZ)
[/mm]
Stimmt das so?
Ich kann aber leider mit dem Ergebnis nichts anfangen. Was heißt denn x [mm] \equiv [/mm] 2 (7)? Ich dachte das heißt, dass die Zahl x bei Division mit 7 den Rest 2 hat... Aber das ist wohl nicht so?
Über eine hilfreiche Antwort wäre ich sehr dankbar.
Liebe Grüße, moerni
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Hallo moerni,
> Bestimme die Menge aller ganzen Zahlen x, welche die
> simultanen Kongruenzen
>
> x [mm]\equiv[/mm] 2 (7), x [mm]\equiv[/mm] 1 (9), x [mm]\equiv[/mm] 3 (20)
> lösen.
> Hallo,
> ich bin noch ganz am Anfang bei diesem Thema. Ich habe
> versucht nach dem Schema aus der Vorlesung diese Aufgabe zu
> lösen:
> Berechne: [mm]n_1=180(9*20), n_2=140(7*20), n_3=63(7*9)[/mm]
> mit
> dem euklidischen Algorithmus finde ich:
[mm]1=3n_1-77*7\qquad 1=2n_2-9*31\qquad 1=-5n_3-22*20.[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die dritte Gleichung stimmt nicht.
> nach dem chinesischen Restsatz ist die Abbildung [mm]\phi: \IZ \to \IZ|_7[/mm]
> x [mm]\IZ|_9[/mm] x [mm]\IZ_{20}[/mm] surjektiv. Eine spezielle Lösung ist:
> [mm]x_0=3*n_1*2+2n_2-5*3*n_3=415[/mm]
Dies kann nicht ganz stimmen. Zwar stimmen die
Kongruenzen modulo 7 und modulo 9, aber nicht
die modulo 20, denn 415 mod 20 = [mm] 15\not=3
[/mm]
> Die homogene Lösung ist k*1260 (k [mm]\in \IZ)[/mm]
> Stimmt das so?
Ja. Damit erhält man alle ganzen Zahlen, welche durch
alle drei Zahlen 7, 9 und 20 teilbar sind. 1260 ist das kgV
der drei Zahlen.
> Ich kann aber leider mit dem Ergebnis nichts anfangen. Was
> heißt denn x [mm]\equiv[/mm] 2 (7)? Ich dachte das heißt, dass die
> Zahl x bei Division mit 7 den Rest 2 hat... Aber das ist
> wohl nicht so?
Doch, dies ist korrekt.
> Über eine hilfreiche Antwort wäre ich sehr dankbar.
> Liebe Grüße, moerni
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Di 01.09.2009 | | Autor: | moerni |
Danke für die rasche Antwort.
Ich habe nochmal nachgerechnet: bei der dritten Gleichung erhalte ich nun: 1=7*63-22*20 und somit als spezielle Lösung: [mm] x_0=6*180+2*140+21*63=1711.
[/mm]
das kann aber auch nicht sein, oder? wenn ich das richtig verstanden habe, gilt:
1711 dividiert durch 7 ist 244 Rest 3 (sollte 2 sein)
1711 dividiert durch 9 ist 190 Rest 1 (ok)
1711 dividiert durch 20 ist 85 Rest 11 (sollte 3 sein)
oje, vielleicht liegt ja wieder ein Fehler in der Rechnung?... hier weiß ich nicht weiter...
grüße moerni
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mir ist nur ein Rätsel, wie du auf 1711 kommst ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Di 01.09.2009 | | Autor: | moerni |
uups wie peinlich. Gott sei dank nur ein Eingabefehler. die spezielle Lösung ist also 2683 und dann stimmen die Kongruenzen auch. Juchuuuu!!
vielen Dank, moerni
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> uups wie peinlich. Gott sei dank nur ein Eingabefehler. die
> spezielle Lösung ist also 2683 und dann stimmen die
> Kongruenzen auch. Juchuuuu!!
> vielen Dank, moerni
ich würde dir aber noch empfehlen, die kleinste
positive Lösung zu bestimmen !
Schönen Abend
Al-Chw.
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