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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:51 So 05.11.2006 | | Autor: | engel |
Hallo!
Warum ist denn six(-x) das gleiche wie -sin(x)?
Gilt das entsprechend auch bei cos und tan?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:13 So 05.11.2006 | | Autor: | statler |
Guten Tag engel!
> Hallo!
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> Warum ist denn sin(-x) das gleiche wie -sin(x)?
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> Gilt das entsprechend auch bei cos und tan?
Zunächst hat man den ![[]](/images/popup.gif) Sinus ja nur für (pos.) Winkel zwischen 0 und 90°. Allerdings kann man sich Gedanken machen, wie das wohl bei anderen Winkeln ist. Die Standardzeichnung, in der man die Winkelfunktionen wiederfindet, ist das Bild mit dem Einheitskreis und [mm] \alpha [/mm] von der positiven x-Achse im Gegensinn des Uhrzeigers abgetragen. Ist dir dieses Bild bekannt? Leider kann ich hier weder zeichnen noch einscannen. Der Sinus ist dann die Gegenkathete, und wenn ich statt [mm] \alpha -\alpha [/mm] nehme, also den Winkel nach unten im Uhrzeigersinn abtrage, zeigt meine Gegenkathete nach unten, also in die negative y-Richtung, ist aber gleich lang. Daher ist die Definition sin(-x) := -sin(x) vernünftig. Mit dem gleichen Bild kann man sich überlegen, was bei Winkeln von über 90° passiert.
Der Cosinus ist die Ankathete, also das Stück auf der x-Achse, und man sieht, daß es für [mm] \alpha [/mm] genauso lang ist wie für [mm] -\alpha. [/mm] Also ist cos(-x) = cos(x). Und weil der Tangens der Quotient aus Sinus und Cosinus ist, gilt tan(-x) = -tan(x).
Eine strenge mathematische Begründung, warum man das so machen muß, benutzt Wissen, das man in der Schule i. a. nicht voraussetzen kann.
Einen schönen Sonntag
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 So 05.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das ganze hat etwas mit der Symmetrie der Funktionen zu tun
[mm] \sin{x} [/mm] und [mm] \tan{x} [/mm] sind zum Ursprung punktsymmetrisch, also gilt [mm] \sin{-x}=-\sin{x} [/mm] und [mm] \tan{-x}=-\tan{x}
[/mm]
Anders ist die Sache bein Cosinus, der achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
Also [mm] \cos{-x}=\cos{x}
[/mm]
Marius
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