sin, cos komplex < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Mi 18.04.2007 | | Autor: | blinktea |
| Aufgabe | Die Funktionen cos: [mm] \IC \to \IC [/mm] und sin: [mm] \IC \to \IC [/mm] werden definiert durch [mm] cos(z)=(e^{iz} [/mm] + [mm] e^{-iz})/2, sin(z)=(e^{iz} [/mm] - [mm] e^{-iz})/2i. [/mm] man zeige:
b) cos²z+sin²z=1, sin(z+w)=sinzcosw + coszsinw, cos(z+w)=... |
also die erste aufgabe von b ist kein problem. nur bei sin(z+w) weiß ich nicht genau weiter, soll ich bei cosw dann einfach statt des z ein w schreiben? also: [mm] cos(w)=(e^{iw}+e^{-iw})/2 [/mm] und bei sinus genauso?? also das hab ich mal gemacht, und dann folgendes gerechnet:
[mm] (e^{iz} [/mm] - [mm] e^{-iz})/2i )*(e^{iw} [/mm] + [mm] e^{-iw})/2) [/mm] + [mm] ((e^{iz} [/mm] + [mm] e^{-iz})/2) [/mm] * [mm] (e^{iw} [/mm] - [mm] e^{-iw})/2i)
[/mm]
allerdings kürzt sich bei mir alles weg, so dass ich dann 0/4 übrig habe, also Null. vielleicht kann mir ja jemand helfen :)...DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Mi 18.04.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm]cos(z+w)=\bruch{1}{2}(e^{iz+iw} + e^{-iz-iw}) =\bruch{1}{4}((e^{iz} + e^{-iz})*(e^{iw} + e^{-iw}) + (e^{iz} - e^{-iz})*(e^{iw} - e^{-iw})) = cos(z)cos(w)+sin(z)sin(w)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Do 17.05.2007 | | Autor: | gabi114 |
HI,
Kannst du mir evtl. bei dem ersten Teil von der b) weiterhelfen?
zz.: cos²z+sin²z=1
Gruß
Gabi
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Hallo Gabi,
das kannste einfach geradeheraus mit der definition ausrechen:
[mm] $\cos^2(z)+\sin^2(z)=\left[\frac{1}{2}\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)\right]^2+\left[\frac{1}{2i}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)\right]^2=\frac{1}{4}\left(e^{2iz}\underbrace{+2e^{iz}e^{-iz}}_{=2e^0=2}+e^{-2iz}\right)-\frac{1}{4}\left(e^{2iz}\underbrace{-2e^{iz}e^{-iz}}_{=-2}+e^{-2iz}\right)$
[/mm]
Nun noch etwas zusammenfassen und [mm] \frac{1}{4} [/mm] ausklammern, dann haste es
LG
schachuzipus
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