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sin, cos linear unabhängig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:21 So 21.03.2010
Autor: NightmareVirus

Aufgabe
Beh.: $(sin,cos) [mm] \in (\mathbb{R}^{\mathbb{R}}^2$ [/mm] sind linear unabhängig

Beweis:
Wegen
[mm] $$\alpha [/mm] : [mm] \langle \sin, \cos \rangle \; \to \; \mathbb{R}^2 [/mm] : f [mm] \mapsto (f(0),f(\frac{\pi}{2}))$$ [/mm]
ist linear und [mm] $(\alpha(\sin) [/mm] = (0,1), [mm] \alpha(\cos) [/mm] = (1,0))$ ist linear unabhängig.

Dazu meinte meine Tutorium, dass "wenn ich wirklich verstanden hätte warum [mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] linear unabhängig sind, ich das anders bewiesen hätte". (der Beweis stand so ähnlich im Skript, von daher war die Bemerkung zutreffend).

Nun gut nach kurzer Überlegung bin ich dann auf die Idee gekommen, dass [mm] $\sin$ [/mm] kein Vielfaches von [mm] $\cos$ [/mm] ist. Also:

[mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] sind linear unabhängig, da kein $a [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] existiert mit [mm] $a\cdot\sin(x) [/mm] = [mm] \cos(x) \quad \forall [/mm] x [mm] \in \mathbb{R}$. [/mm]
Insbesondere ist ja $a [mm] \cdot \sin(0) [/mm] = 0 [mm] \neq [/mm] 1 [mm] \cos(0)$ [/mm]

o.k.?

        
Bezug
sin, cos linear unabhängig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:39 So 21.03.2010
Autor: metalschulze

Hallo,
nun ja die letzte Gleichung ist ja für [mm] \alpha [/mm] = 0 erfüllt....
du müstest jetzt zeigen, dass für einen beliebigen anderen Wert x nicht der gleiche Wert für [mm] \alpha [/mm] rauskommt...
Gruss Christian

Bezug
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