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sin(x)/x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:14 Do 14.04.2011
Autor: Speedmaster

Aufgabe
Prüfen Sie nach, ob die folgenden uneigentlichen Integrale Konvergent sind.
b)
[mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{cos x}{x^2} dx}<=\ \integral_{1}^{\infty}{\bruch{|cos x|}{x^2} dx}<=\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^2} dx}[/mm] ergibt 1, somit Konvergent
c)
[mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{sin x}{x} dx} \textrm{ Hinweis: F"uhren Sie c) durch Partielle Integration auf b) zur"uck}[/mm]



Hallo, zu Aufgabe  c) habe ich, nachdem ich b) mittels Majorante bewiesen habe folgenden Ansatz
[mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{sin x}{x} dx}=-\bruch{cos(x)}{x}+\integral_{0}^{\infty}{\bruch{cosx}{x^2} dx} <=-\bruch{1}{x}+\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{x^2}dx}=\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x}=0[/mm]

das Integral Konvergiert.
Nun ist aber [mm]\bruch{1}{x}[/mm] mit den Grenzen 0 bis 1 Divergent, von 1 bis unendlich aber Konvergent... mache ich einen Denkfehler?

Viele Grüße



        
Bezug
sin(x)/x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:25 Do 14.04.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Speedmaster,


> Prüfen Sie nach, ob die folgenden uneigentlichen Integrale
> Konvergent sind.
>  b)
>  [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{cos x}{x^2} dx}<=\\ integral_{1}^{\infty}{\bruch{|cos x|}{x^2} dx}<=\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^2} dx}[/mm]
> ergibt 1, somit Konvergent
>  c)
>  [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{sin x}{x} dx} \textrm{Hinweis: Führen Sie c) dirch Partielle Integration auf b) zurück}[/mm]
>  
> Hallo, zu Aufgabe  c) habe ich, nachdem ich b) mittels
> Majorante bewiesen habe folgenden Ansatz
>  [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{sin x}{x} dx}=-\bruch{cos(x)}{x}+\integral_{0}^{\infty}{\bruch{cosx}{x^2} dx} <=-\bruch{1}{x}+\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{x^2}dx}=\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x}=0[/mm]
>  
> das Integral Konvergiert.
>  Nun ist aber [mm]\bruch{1}{x}[/mm] mit den Grenzen 0 bis 1
> Divergent, von 1 bis unendlich aber Konvergent... mache ich
> einen Denkfehler?

Nun, teile doch das Integral in c) auf:

[mm]\int\limits_{0}^{\infty}{\frac{\sin(x)}{x} \ dx} \ = \int\limits_{0}^{1}{\frac{\sin(x)}{x} \ dx} \ + \ \int\limits_{1}^{\infty}{\frac{\sin(x)}{x} \ dx}[/mm]

Dann kannst du mit partieller Integration das hintere Integral auf b) zurückführen (wobei da das Vorzeichen vor dem Integral m.E. nicht stimmt - da gibt's insgesamt 3x "-", also "-")

Für [mm]\int\limits_{0}^{1}{\frac{\sin(x)}{x} \ dx}[/mm] bleibt dann zu zeigen, dass das endlich ist.

Stetige Funktionen nehmen auf Kompakta (und das ist [mm][0,1][/mm] ja) ihr Extremum an.

In [mm](0,1][/mm] ist [mm]\sin(x)/x[/mm] offensichtlich stetig.

Wie sieht's in [mm]x=0[/mm] aus?

Das solltest du kennen: [mm]\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=\ldots[/mm]


>  
> Viele Grüße
>  
>  

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
sin(x)/x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:58 Do 14.04.2011
Autor: Speedmaster


[mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{sinx}{x} dx}<=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x} dx}=ln(x)[/mm]
mit einsetzen der grenzen käme 0 und -[mm]\infty[/mm]heraus, womit es divergent wäre, was es offensichtlich nicht ist.

Darf ich denn [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \integral_{0}^{1}{\bruch{sinx}{x} dx}=\integral_{0}^{1}{0/0 dx}=0[/mm]
[mm] bzw \limes_{x\rightarrow\1} \integral_{0}^{1}{\bruch{sinx}{x} dx}=\integral_{0}^{1}{0/1 dx}=0[/mm]
einfach so einsetzen?
Dw.
[mm]-\bruch{cosx}{x}+\integral_{1}^{\infty}{\bruch{cosx}{x^2} dx}[/mm]

[mm]-\bruch{cosx}{x}<=\bruch{1}{x}...[/mm]wäre auch divergent, da [mm]\bruch{1}{x^1}[/mm] divergent... oder?


Viele Grüße



Bezug
                        
Bezug
sin(x)/x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 Do 14.04.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{sinx}{x} dx}<=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x} dx}=ln(x)[/mm]
>  
> mit einsetzen der grenzen käme 0 und -[mm]\infty[/mm]heraus, womit
> es divergent wäre, was es offensichtlich nicht ist.

Stimmt!

>  
> Darf ich denn [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \integral_{0}^{1}{\bruch{sinx}{x} dx}=\integral_{0}^{1}{0/0 dx}=0[/mm]
>  
> [mm]bzw \limes_{x\rightarrow\1} \integral_{0}^{1}{\bruch{sinx}{x} dx}=\integral_{0}^{1}{0/1 dx}=0[/mm]
>  
> einfach so einsetzen?

Nein, ohne Integral!

Es ist (meinetwegen mit de l'Hôpital) doch [mm]\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1[/mm]

Das solltest du echt kennen!

Damit ist der Integrand [mm]\frac{\sin(x)}{x}[/mm] nicht nur auf [mm](0,1][/mm], sondern auf dem kompakten Intevall [mm][0,1][/mm] stetig.

Es nimmt [mm]\sin(x)/x[/mm] auf [mm][0,1][/mm] also sein Maximum an.

Du kannst damit das Integral [mm]\int\limits_{0}^{1}{\frac{\sin(x)}{x} \ dx}[/mm] abschätzen durch [mm]\int\limits_{0}^{1}{\frac{\sin(x)}{x} \ dx} \ \le \ \max\limits_{x\in[0,1]}\left\{\frac{\sin(x)}{x}\right\}\cdot{}1[/mm]

Also durch die Rechteckfläche mit Höhe [mm]\max{...}[/mm] und Breite (=Intervallänge) 1

Das ist ja insbesondere endlich. Du musst es gar nicht ausrechnen ...

>  Dw.
>  [mm]-\bruch{cosx}{x}+\integral_{1}^{\infty}{\bruch{cosx}{x^2} dx}[/mm]
>  
> [mm]-\bruch{cosx}{x}<=\bruch{1}{x}...[/mm]wäre auch divergent, da
> [mm]\bruch{1}{x^1}[/mm] divergent... oder?

Das hintere Integral hat als Untergrenze 1 und nicht 0

Gerade darum habe ich das Integral ja so zerlegt ...

>  
>
> Viele Grüße
>  
>  

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
sin(x)/x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 Do 14.04.2011
Autor: Speedmaster


Achso, mein Problem lag nun bei der Anwendung von l'Hospital, da ich mich nicht sicher war ob ich diese Regel im Integral so anwenden darf...

Darf ich zur Konvergenz L'Hospital , sofern die nötigen Bedingungen wie z.B [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm]erfüllt sind, immer anwenden?

bei [mm]\bruch{1}{x}[/mm] dachte ich wegen der Divergenz an [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x} dx},[/mm] was divergent wäre...
Die Abschätzung [mm]|-\bruch{cosx}{x}|<=\bruch{1}{x} [/mm] mit der Grenzwertbetrachtung gegen 1 und [mm]\infty[/mm]darf ich also machen ja?

Bezug
                                        
Bezug
sin(x)/x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:45 Do 14.04.2011
Autor: leduart

Hallo
du wendest L'Hopital nicht im Integral an, sondern un die Stetigkeit von f(x)=sin(x)/x zu zeigen mit f(0)=1 stetig ergänzt.
gruss leduart


Bezug
                                
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sin(x)/x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:36 Do 14.04.2011
Autor: Speedmaster


Auch auf die Gefahr hin, dass ich Begrifsstutzig erscheine,...

wenn
[mm]\limes_{x\rightarrow\o}\bruch{sinx}{x}=(d'l) \limes_{x\rightarrow\o}\bruch{cosx}{1}=1[/mm] und somit stetig ergänzbar in 0.
[mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{sinx}{x} dx}<=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x} dx} [/mm]
nun ist [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x} dx}[/mm] aber Divergent...



Bezug
                                        
Bezug
sin(x)/x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:45 Do 14.04.2011
Autor: fred97


>
> Auch auf die Gefahr hin, dass ich Begrifsstutzig
> erscheine,...
>  
> wenn
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\o}\bruch{sinx}{x}=(d'l) \limes_{x\rightarrow\o}\bruch{cosx}{1}=1[/mm]
> und somit stetig ergänzbar in 0.
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{sinx}{x} dx}<=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x} dx} [/mm]
>  
> nun ist [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x} dx}[/mm] aber
> Divergent...

Na und ?  Da Integral [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{sinx}{x} dx} [/mm] ist konvergent und es gilt:

    [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{sinx}{x} dx} \le \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x} dx}= \infty[/mm]

Genauso wie

[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2} \le \summe_{n=1}^{\infty}n^2 [/mm]

Die linke Reihe ist konvergent, die rechte divergent.

FRED

>  
>  


Bezug
                                                
Bezug
sin(x)/x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:56 Do 14.04.2011
Autor: Speedmaster


Hm, aber das geht aus dem versuchten Beweis dann ja nach wie vor nicht hervor, lediglich, dass Die Funktion stetig ergänzbar ist bei x=0
oder sehe ich das falsch?

Viele Grüße

Bezug
                                                        
Bezug
sin(x)/x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:47 Do 14.04.2011
Autor: leduart

Hallo
schachuzipus hat dir doch gesagt, wie du das Integral abschätzen kannst, nachdem gezeigt ist, dass der integrand stetig ist.  Lies die posts sorgfältig.
Gruss leduart


Bezug
                                                                
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sin(x)/x: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:57 Do 14.04.2011
Autor: Speedmaster

Okay, ich habe verstanden, dass ich es nicht mit 1/x abschätzen kann, da 1/x ja nicht stetig ergänzbar ist bei 0...

Verstehe auch, dass das Integral in den Grenzen 0 und 1 endlich ist, da es bei 0 sein Maximum hat, da es dort stetig ergänzbar ist. Ich weiß nur leider nichtgenau wie ich das ganze mathematisch formulieren soll...


Vielen Dank für die Hilfe!

Bezug
                                                                        
Bezug
sin(x)/x: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:59 Do 14.04.2011
Autor: leduart

Hallo
das hat doch schachuzipus schon für dich getan?
gruss leduart


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