sin(x)/x integrierbar? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi!
Bin neu hier und wollte gleich mal eine Frage stellen, die mich seit gestern Abend beschäftigt. Mein Mathematikdozent hat gemeint, die Funktion sin(x)/x ist nicht integrierbar (mit Taylorreihen kann man sie z.B. annähern, aber nicht exakt berechnen).
Jetzt wollte ich einen Teil meines Lösungsansatzes hier präsentieren; nur einen Teil deshalb, weil ich mir nicht sicher bin, ob man komplexe Funktionen ebenso integrieren darf wie Funktionen mit reellen Argumenten. Wir haben in der FH zwar die Fourier-Transformation schon etwas angeschnitten, aber daraus ist für mich nicht hervorgegangen, ob man komplexe Funktionen ganz "normal" integrieren darf.
Hier mal mein Ansatz:
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{\sin(x)}{x} dx}[/mm]
Da man ja den Sinus auch komplex schreiben kann:
[mm]\sin(x)[/mm] = [mm]\bruch{e^{jx} - e^{-jx}}{2j}[/mm]
Da im Nenner noch ein x hinkommt (wegen sin(x)/x):
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{e^{jx} - e^{-jx}}{2jx} dx}[/mm]
Jetzt substituier ich jx mit z. Wobei ja gilt:
j*x = z --> j*dx = dz --> dx = dz/j
Also sieht das Integral dann so aus (1/j herausgehoben):
[mm]-j * \integral_{}^{} {\bruch{e^{z} - e^{-z}}{2z} dz}[/mm]
Jetzt teil ich das Integral noch auseinander und schreib das 1/2 vor das Integral:
[mm]\bruch{j}{2} * ( \integral_{}^{} {\bruch{e^{z}}{z} dz} - \integral_{}^{} {\bruch{e^{-z}}{z} dz})[/mm]
Im Moment geht mir geht mir leider die Geduld mit dem Formeleditor aus - den Rest poste ich morgen früh.
Die Frage ist jetzt: ist das überhaupt alles korrekt, was ich hier gemacht habe? Oder bin ich bereits über eine der Fallen der Integration von komplexen Funktionen gestoßen?
Bitte um Aufklärung bezüglich dessen; der Rest kommt wie gesagt morgen.
Dust Signs
PS.: Oh mein Gott, jetzt hab ich über eine Stunde für den einen Beitrag gebraucht, weil mich der Formeleditor nicht mag ^^
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Hallo DustSigns,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Die Funktion [mm] \bruch{sin(x)}{x} [/mm] ist nicht elementar integrierbar. Die Umformungen, die du bisjetzt gemacht hast, sind zwar richtig, aber ich denke nicht, dass sie zum Lösen dieses Problems führen. Ich verweise auf dieses Link ![[]](/images/popup.gif) http://n.ethz.ch/student/asres/info1/vorgabe.pdf, wo einiges zum Integralsinus steht.
gruss,
logarithmus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:43 So 03.07.2005 | | Autor: | DustSigns |
Vielen Dank für den Link - äußerst interessant. Hab weiter unten meinen weiteren Lösungsweg gepostet.
Da wir noch nicht allzuviel integriert haben bin ich leider noch nicht allzu firm was Umformungen und "was darf ich und was nicht" angeht.
Dust Signs
//EDIT: Wo ich kann ich hier den Status ändern? Dieser Post ist eigentlich nicht mehr offen; der unterhalb ("Fortsetzung") allerdings schon :(
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Gut, hier wie versprochen mehr zu meinem "Lösungsweg":
Ich nehme jetzt aus meinem obigen Beitrag nur das erste Integral heraus, um es zu berechnen, also
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{e^{z}}{z} dz}[/mm]
Dieses Integral habe ich versuchst mittels partieller Integration zu lösen, wobei ich es etwas umgeschrieben habe, damit die beiden Funktionen besser zu sehen sind:
[mm] \integral_{}^{} {e^{z} * \bruch{1}{z} dz}[/mm]
Ich wähle jetzt [mm]e^{z}[/mm] als f und [mm]\bruch{1}{z}[/mm] als g', womit sich f' und g wie folgt ergeben:
[mm]f'(x)=e^{z}[/mm] bzw.
[mm]g(x)=\ln(z)[/mm]
Da sich ja das partielle Integral mit [mm]f*g - \integral_{}^{} {f'*g dz}[/mm] berechnet ergibt sich:
[mm]e^{z}*\ln(z)- \integral_{}^{} {e^{z}*\ln(z) dz}[/mm]
Das [mm] e^{z}*\ln(z) [/mm] im Integral schreibe ich jetzt etwas anders an - scheint zwar wenig Sinn zu ergeben, vereinfacht aber den Lösungsweg:
[mm]e^{z}*\ln(z) = e^{z}*e^{\ln(\ln(z))}[/mm]
Und da man die beiden e-Potenzen zusammenfassen kann:
[mm]e^{z+\ln(\ln(z))}[/mm]
Und da sich ja eine Funktion der Form [mm]e^{f(x)}[/mm] ganz leicht integrieren lässt ([mm]=\bruch{e^{f(x)}}{f'(x)}[/mm]).
In meinem Fall ist es eine Funktion von z und nicht von x, aber das ist ja nicht relevant.
Ich nenne nun das, was im Integral im Exponenten steht A(z), um die Sache übersichtlich zu halten:
[mm]A(z)=z+\ln(\ln(z))[/mm]
Jetzt bilde ich die erste Ableitung dieser Funktion, wobei ich zweimal die Kettenregel brauche:
[mm]A'(z)=1+\bruch{1}{\ln(z)}*\bruch{1}{z}[/mm]
Das ganze schreibe ich jetzt auf einen Nenner - rein der Form halber:
[mm]A'(z)=1+\bruch{1}{z*\ln(z)}[/mm]
Jetzt integriere ich [mm] \integral_{}^{} {e^{A(z)} dz}[/mm]
was ja [mm] \bruch{e^{A(z)}}{A'(z)}[/mm] ergibt. Und da ja [mm]e^{A(z)}[/mm] nichts anderes ist als die Funktion [mm]e^{z}*\ln(z)[/mm], sieht die Lösung dieses Integrals (nennen wir diese Lösung der Einfachheit halber L1) wie folgt aus:
[mm]L1=\bruch{e^{z}*\ln(z)}{1+\bruch{1}{z*\ln(z)}}[/mm]
Nun nehme ich das [mm]e^{z}*\ln(z)[/mm] von oben hinzu (von der partiellen Integration), womit sich jetzt ergibt:
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{e^{z}}{z} dz} = e^{z}*\ln(z)-L1[/mm]
Da in beiden Summanden [mm]e^{z}*\ln(z)[/mm] vorkommt, hebe ich das heraus, wodurch sich folgendes ergibt:
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{e^{z}}{z} dz} = e^{z}*\ln(z)*(1-\bruch{1}{1+\bruch{1}{z*\ln(z)}})[/mm]
Leider habe ich jetzt keine Zeit mehr, das genauer zu machen, da ich bald weg muss, aber ich mache jetzt nichts weiter als die beiden Summanden auf den gleichen Nenner zu bringen.
Nach etwas Umformen ergibt sich dann
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{e^{z}}{z} dz} = \bruch{e^{z}*\ln(z)}{z*\ln(z)+1}[/mm]
Leider weiß ich (noch) nicht, ob diese Lösung richtig ist. Falls ja, lässt sich das andere Integral ja analog rechnen (einfach z durch -z in der Lösung ersetzen). Also nun die Zwischenfrage: ist das, was ich bis hierher gemacht habe, richtig?
Dust Signs
//EDIT: wie stellt man denn hier den Status um? Der is jedes mal anders... und eigentlich sollte das "Danke" da oben eine fertige Antwort darstellen und dieser Post hier eigentlich nicht...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 So 03.07.2005 | | Autor: | leduart |
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> Und da sich ja eine Funktion der Form [mm]e^{f(x)}[/mm] ganz leicht
> integrieren lässt ([mm]=\bruch{e^{f(x)}}{f'(x)}[/mm]).
Da liegt dein Irrtum ! [mm] f'*e^{f} [/mm] lässt sich leicht integrieren. dene Formel ist falsch, leit doch mal dein Ergebnis mit Kettenregel und Bruchregel ab!
Wenn deine Beh. richtig wär könntest du doch gleich am Anfang sin(x)/x=e^(ln(sin(x)/x) schreiben und wärst fertig und damit hättest du ein für alle Mal ALLEIntegrale gelöst! Hat dich das nicht gewundert? Schön wärs!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 So 03.07.2005 | | Autor: | DustSigns |
> > Und da sich ja eine Funktion der Form [mm]e^{f(x)}[/mm] ganz leicht
> > integrieren lässt ([mm]=\bruch{e^{f(x)}}{f'(x)}[/mm]).
> Da liegt dein Irrtum ! [mm]f'*e^{f}[/mm] lässt sich leicht
> integrieren. dene Formel ist falsch, leit doch mal dein
> Ergebnis mit Kettenregel und Bruchregel ab!
> Wenn deine Beh. richtig wär könntest du doch gleich am
> Anfang sin(x)/x=e^(ln(sin(x)/x) schreiben und wärst fertig
> und damit hättest du ein für alle Mal ALLEIntegrale gelöst!
> Hat dich das nicht gewundert? Schön wärs!
> Gruss leduart
Ok, danke ^^. Was man nicht so alles übersieht, wenn man nicht integrieren kann ;)
Dust Signs
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