sin(x)^x mit L'Hopital < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Di 16.02.2010 | | Autor: | Memorius |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie [mm] \limes_{x\rightarrow 0} sin^{x}(x) [/mm] |
Hallo!
Irgendwo in meiner Rechnung habe ich einen Fehler. Nur ich finde ihn nicht:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} sin^{x}(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0} e^{x*ln(sin(x))} [/mm] = [mm] e^{ \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{ln(sin(x))}{\bruch{1}{x}}}
[/mm]
Betrachten wir ab nun an nur [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{ln(sin(x))}{\bruch{1}{x}}
[/mm]
Mit L'Hopital bekommt man: [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\bruch{cos(x)}{sin(x)}}{- \bruch{1}{x^{2}}}
[/mm]
ableiten: [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\bruch{cos^{2}(x) + sin^{2}(x)}{sin²(x)}}{\bruch{2}{x^{3}}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^{3}}{2*sin^{2}(x)}
[/mm]
wieder ableiten: [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{3x^{2}}{2*(2*sin(x)cos(x))} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{3x^{2}}{2*sin(2x)} [/mm]
ableiten: [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{6x}{4*cos(2x)} [/mm]
ableiten: [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{6}{8*sin(2x)} [/mm]
Wer kann helfen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Di 16.02.2010 | | Autor: | Memorius |
Moment, der Grenzwert von [mm] sin^{x}(x) [/mm] für x -> 0 ist aber nicht [mm] e^{0} [/mm] = 1. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
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Anscheinen doch. Die Rechnung ist komplett richtig.
Also [mm] e^0=1.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 Di 16.02.2010 | | Autor: | Memorius |
Gruml, gruml. Und hatte was völlig anderes in Erinnerung...
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[stop]](/images/smileys/stop.gif "[stop]"){kind=small}
