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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Fr 14.12.2012 | | Autor: | Anabella |
| Aufgabe | | Zu zeigen: sinh [mm] \IR\to\IR [/mm] ist bijektiv |
Mir ist die Definition des Sinus hyperbolicus sinh(x) = [mm] \bruch{e^x-e^{-x}}{2} [/mm] bekannt, sowie die der Bijektivität. Trotzdem fehlt mir eine Idee, wie ich das zeigen könnte.
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Hallo Anabella,
> Zu zeigen: sinh [mm]\IR\to\IR[/mm] ist bijektiv
> Mir ist die Definition des Sinus hyperbolicus sinh(x) =
> [mm]\bruch{e^x-e^{-x}}{2}[/mm] bekannt, sowie die der Bijektivität.
> Trotzdem fehlt mir eine Idee, wie ich das zeigen könnte.
Gib' doch die Umkehrfunktion an ...
Löse [mm]x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}[/mm] nach [mm]y[/mm] auf ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Fr 14.12.2012 | | Autor: | Anabella |
y = [mm] ln(\wurzel{x^2+1}+x)
[/mm]
Aber inwiefern beantwortet das die Frage nach der Bijektivität von sinh?
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Hallo nochmal,
> y = [mm]ln(\wurzel{x^2+1}+x)[/mm]
>
> Aber inwiefern beantwortet das die Frage nach der
> Bijektivität von sinh?
Das ist die große Frage ...
Wie hängen Bijektivität und Existenz einer Umkehrfunktion zusammen?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Fr 14.12.2012 | | Autor: | Anabella |
Ich dachte, ich müsste zuerst zeigen, dass sinh bijektiv ist, und er danach dürfte ich die Umkehrfunktion bilden.
Na gut, danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Fr 14.12.2012 | | Autor: | Anabella |
Eine Frage habe ich aber doch noch: Wie sieht das dann beim cosh aus?
Reicht es,
cosh(x) [mm] =\bruch{e^x+e^-x}{2}
[/mm]
auf
y = [mm] ln(x+\wurzel{x^2-1})
[/mm]
umzuformen, um zu zeigen, dass cosh(x) bijektiv ist?
Wenn cosh von [mm] \IR_+ [/mm] nach [1, [mm] \infty) [/mm] definiert ist, muss die Umkehrfunktion von [1, [mm] \infty) [/mm] nach [mm] \IR_+ [/mm] gehen, oder? Wie zeige ich das?
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Hallo anabella,
wenn Du eine Umkehrfunktion angeben kannst, hast Du damit auch ihre Existenz gezeigt. Oft genug ist das aber nicht möglich, sondern nur die Existenz einer Umkehrung zu zeigen.
> Eine Frage habe ich aber doch noch: Wie sieht das dann beim
> cosh aus?
>
> Reicht es,
> cosh(x) [mm]=\bruch{e^x+e^-x}{2}[/mm]
> auf
> y = [mm]ln(x+\wurzel{x^2-1})[/mm]
> umzuformen, um zu zeigen, dass cosh(x) bijektiv ist?
Ja, siehe oben; es gibt aber Einschränkungen. Diese formulierst Du im folgenden völlig korrekt.
> Wenn cosh von [mm]\IR_+[/mm] nach [1, [mm]\infty)[/mm] definiert ist, muss
> die Umkehrfunktion von [1, [mm]\infty)[/mm] nach [mm]\IR_+[/mm] gehen, oder?
> Wie zeige ich das?
Definitions- und Wertebereich beider Funktionen untersuchen und vergleichen. Mehr ist nicht nötig.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:10 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Anabella,
> Zu zeigen: sinh [mm]\IR\to\IR[/mm] ist bijektiv
> Mir ist die Definition des Sinus hyperbolicus sinh(x) =
> [mm]\bruch{e^x-e^{-x}}{2}[/mm] bekannt, sowie die der Bijektivität.
> Trotzdem fehlt mir eine Idee, wie ich das zeigen könnte.
Dir wurde ja vorgeschlagen, dass Du [mm] $(e^x-e^{-x})/2=y\,$ [/mm] nach
[mm] $x\,$ [/mm] auflöst - das hast Du getan und erhieltest
[mm] $$x=\ln(\sqrt{y^2+1}+y)\,.$$
[/mm]
Das ist schonmal super, und prinzipiell bist Du eigentlich fertig.
Nichtsdestotrotz mal ein paar Bemerkungen, die vielleicht helfen,
Dir das ganze klar(er) (oder wirklich klar) zu machen:
Es war [mm] $\sinh: \red{\IR} \to \blue{\IR}\,.$ [/mm] Setzen wir erstmal $g: [mm] \blue{\IR} \to \red{\IR}$ [/mm] fest durch [mm] $\blue{\IR} \ni \blue{y} \mapsto g(y):=\ln(\sqrt{\blue{y}^2+1}+\blue{y})\,.$
[/mm]
Bemerkungen betreff der Funktion [mm] $g\,$:
[/mm]
1. Wegen [mm] $y^2 \ge [/mm] 0$ ist [mm] $y^2+1 [/mm] > 0$ und damit ist auch [mm] $\sqrt{y^2+1}$
[/mm]
sicher definiert, weil [mm] ${\sqrt{\,}}\; :\;[0,\infty) \to [0,\infty)\,.$ [/mm]
2. Es gelten [mm] $\sqrt{y^2+1} [/mm] > [mm] |y|\,$ [/mm] (warum?) sowie $y [mm] \ge [/mm] -|y|$ für alle $y [mm] \in \IR\,,$
[/mm]
also
[mm] $$\sqrt{y^2+1}+y \ge \sqrt{y^2+1}+(-|y|) [/mm] > [mm] |y|+(-|y|)=0\,,$$ [/mm]
damit ist [mm] $\ln(\sqrt{y^2+1}+y)$ [/mm] also wegen [mm] $\sqrt{y^2+1}+y [/mm] > 0$ für
jedes $y [mm] \in \blue{\IR}$ [/mm] ein definierter Ausdruck, da [mm] $\ln:(0,\infty) \to \IR\,.$
[/mm]
3. Wenn Du ganz sicher gehen willst, dass [mm] $g\,$ [/mm] auch wirklich die
Umkehrfunktion zu [mm] $\sinh$ [/mm] ist, dann zeige, dass
sowohl
a) Es gilt [mm] $\sinh \circ \,g=\text{id}_{\blue{\IR}}$ [/mm] (mit [mm] $\text{id}_{\blue{\IR}}: \blue{\IR} \to \blue{\IR}$ [/mm] und [mm] $\text{id}_{\blue{\IR}}(y)=y$ [/mm] für alle $y [mm] \in \blue{\IR}$), [/mm] d.h., zeige:
Für alle $y [mm] \in \blue{\IR}$ [/mm] gilt [mm] $(\sinh \circ \,g)(y)=y\,.$
[/mm]
als auch
b) Es gilt $g [mm] \circ \sinh=\text{id}_{\red{\IR}}$ [/mm] (mit [mm] $\text{id}_{\red{\IR}}: \red{\IR} \to \red{\IR}$ [/mm] und [mm] $\text{id}_{\red{\IR}}(x)=x$ [/mm] für alle $x [mm] \in \red{\IR}$), [/mm] d.h., zeige:
Für alle $x [mm] \in \red{\IR}$ [/mm] gilt $(g [mm] \circ \sinh)(x)=x\,.$
[/mm]
gelten (zeige also sowohl a) als auch b)).
P.S. Allgemein gilt ja: Eine Funktion $f: [mm] \red{D} \to \blue{Z}$ [/mm] ist genau
dann bijektiv, wenn es eine Funktion $g: [mm] \blue{Z} \to \red{D}$ [/mm] so gibt,
dass
sowohl $f [mm] \circ g=\text{id}_\blue{Z}$ [/mm] gilt (daraus folgt insbesondere
die Surjektivität von [mm] $f\,$)
[/mm]
als auch $g [mm] \circ f=\text{id}_{\red{D}}$ [/mm] gilt (daraus folgt insbesondere
die Injektivität von [mm] $f\,$ [/mm] - den Beweis sollte man immer abrufen können:
Sind [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] D$ mit [mm] $f(x_1)=f(x_2)\,,$ [/mm] so folgt [mm] $x_1=\text{id}_{\red{D}}(x_1)=(g \circ f)(x_1)=g(f(x_1))=g(f(x_2))=(g \circ f)(x_2)=\text{id}_{\red{D}}(x_2)=x_2$).
[/mm]
Für eine bijektive Funktion [mm] $f\,$ [/mm] wie oben ist dann eine solche Funktion
[mm] $g\,$ [/mm] wie oben mit den obigen Eigenschaften eindeutig bestimmt, und
man nennt dann [mm] $f^{-1}$ [/mm] mit [mm] $f^{-1}:=g$ [/mm] die zu [mm] $f\,$ [/mm] zugehörige
Umkehrfunktion.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:00 Sa 15.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Wenn es nur um die Bijektivität von f(x)=sinh(x) geht, kannst Du so vorgehen:
1. Es ist f'(x)= cosh(x)>0 für jedes x [mm] \in \IR. [/mm] Damit ist f streng wachsend, also injektiv.
2. f ist stetig , [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)= \infty [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)= -\infty [/mm] .
Begründe nun (mit dem Zwischenwertsatz), dass [mm] f(\IR)=\IR
[/mm]
FRED
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