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Also ich weiß nicht wie ich folgende Aufgabe bearbeiten soll:
Zeigen sie die Abbildung < . , . > : [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit
< [mm] \vektor{v1 \\ v2 \\ v3} [/mm] , [mm] \vektor{w1 \\ w2 \\ w3} [/mm] > = 3v1w1+2v2w2+v3w3
ist ein Skalarprodukt in [mm] \IR^3 [/mm] !
Muss ich jetzt bilinearitöt, symmetrie, positiv definiert .. muss ich diese drei punkte jetzt zeigen ? :/
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Hallo,
> Also ich weiß nicht wie ich folgende Aufgabe bearbeiten
> soll:
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> Zeigen sie die Abbildung < . , . > : [mm]\IR^3[/mm] -> [mm]\IR[/mm] mit
>
> < [mm]\vektor{v1 \\ v2 \\ v3}[/mm] , [mm]\vektor{w1 \\ w2 \\ w3}[/mm] > =
> 3v1w1+2v2w2+v3w3
>
> ist ein Skalarprodukt in [mm]\IR^3[/mm] !
>
> Muss ich jetzt bilinearitöt, symmetrie, positiv definiert
> .. muss ich diese drei punkte jetzt zeigen ? :/
>
Ja, genau ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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das ist ja super und wie mach ich das :(
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Hi
> das ist ja super und wie mach ich das :(
Für [mm] $a,b,v\in \IR^3$ [/mm] zeige
Linearität im ersten Argument:
also zeige [mm] $<\lambda a+\nu [/mm] b, [mm] v>=\lambda +\nu$
[/mm]
Dazu formst du die linke Seite mit der gegeben Abbildungsvorschrift um.
Linearität im zweiten Argument folgt dann aus Symmetrie+Linearität im ersten Argument.
Symmetrie:
Überprüfe ob $<a, b>=<b,a>$ gilt.
Das kannst du direkt an der Abbildungsvorschrift sehen.
Positiv definit:
Zeige für [mm] $a\neq [/mm] 0$ ist $<a, a>$ echt positiv. Eine Möglichkeit dazu: Allgemeinen Vektor einsetzen.
Kamaleonti
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ich glaube ich mach es mir schwerer als es in wirklichkeit ist .. aber ich habe echt keine ahnung... kannst du mir denn ansatz hinschreiben dann versuch ich weiterzurechnen :/
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> ich glaube ich mach es mir schwerer als es in wirklichkeit
> ist .. aber ich habe echt keine ahnung... kannst du mir
> denn ansatz hinschreiben dann versuch ich weiterzurechnen
> :/
Ich beginne mal mit der Bilearität:
[mm] $<\lambda a+\mu [/mm] b, [mm] v>$=3(\lambda a_1+\mu b_1)v_1+ 2(\lambda a_2+\mu b_2)v_2+(\lambda a_3+\mu b_3)v_3
[/mm]
= [mm] (3\lambda a_1v_1+3\mu b_1v_1) [/mm] + [mm] (2\lambda a_2v_2+2\mu b_2v_2) +(\lambda a_3v_3+\mu b_3v_3)
[/mm]
[mm] =(3\lambda a_1v_1+2\lambda a_2v_2+\lambda a_3v_3)+(3\mu b_1v_1+2\mu b_2v_2+\mu b_3v_3)
[/mm]
[mm] =\lambda +\mu [/mm]
Kamaleonti
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für die bilinearität muss ich nicht mehr zeigen oder?
oki also symmetrie habe ich mal selber versucht:
3 (a1+b1) + 2 (a2+b2) + 3 (a3+b3)
= (3a1+3b1)+(2a2+2b2) + (3a3+3b3)
= (3b1+3a1)+ (2b2+2a2) + (3b3+3a3)
= 3(b1+a1)+ 2(b2+a2)+3(b3+a3)
= <b,a>
wäre das so richtig ? :/
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Hallo,
> für die bilinearität muss ich nicht mehr zeigen oder?
>
> oki also symmetrie habe ich mal selber versucht:
>
> 3 (a1+b1) + 2 (a2+b2) + 3 (a3+b3)
>
> = (3a1+3b1)+(2a2+2b2) + (3a3+3b3)
> = (3b1+3a1)+ (2b2+2a2) + (3b3+3a3)
> = 3(b1+a1)+ 2(b2+a2)+3(b3+a3)
> = <b,a>
>
> wäre das so richtig ? :/
Nein, leider nicht. Wieso addierst du denn die [mm] a_{i} [/mm] und die [mm] b_{i}? [/mm] Das Skalarprodukt ist doch in der Aufgabenstellung als [mm] 3v_{1}*w_{1}+... [/mm] definiert, also das Produkt der jeweils i-ten Komponente mit entsprechenden Vorfaktor.
Außerdem hast du bei der 3. Komponente den Vorfaktor 3 multipliziert, in der Def. des Skalarprodukts am Anfang ist die 3 aber nicht, oder?!
Also versuchs doch nochmal nur mit Multiplizieren ansatt zu addieren, dann müsstest dus hinbekommen!
MfG,
MaTEEler
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okay versuch nummero 2:
3(a1b1) + 2 (a2b2)+(a3b3)
= (3a1b1)+(2a2b2)+(a3b3)
=(3b1a1)+(2b2a2)+(b3a3)
=<a,b>
so richtig ?
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> okay versuch nummero 2:
>
>
> 3(a1b1) + 2 (a2b2)+(a3b3)
>
> = (3a1b1)+(2a2b2)+(a3b3)
>
> =(3b1a1)+(2b2a2)+(b3a3)
>
> =<a,b>
>
> so richtig ?
Bis auf Kleinigkeiten: JA!
Genau genommen müsstest du in der vorletzten Zeile die Vorfaktoren 3 bzw. 2 nochmal rausziehen, sodass du wieder die Definition des eigentlichen Skalarprodukts hast.
Der schlimmere Fehler ist aber die letzte Zeile! Hier muss <b,a> stehen! Denn genau das willst du ja zeigen, dass wenn du anfangs <a,b> berechnest und entsprechend umformst am Ende <b,a> rauskommt, also das ganze symmetrisch ist!
MfG,
MaTEEler
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sry ich hab das auch richtig stehen ...
und wie beweise ich jetzt dass mit dem nullelement?
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> sry ich hab das auch richtig stehen ...
kein Problem...
> und wie beweise ich jetzt dass mit dem nullelement?
Du meinst vermutlich die Eigenschaft, dass das Skalarprodukt positiv definit ist?! Hat mit einem "Nullelement" nicht wirklich was zu tun, sondern bedeutet, dass für Vektoren a gilt: [mm] \ge0 [/mm] und die Gleichheit, also <a,a>=0 genau dann erfüllt ist, wenn a=0. Das heißt du musst 2 Sachen zeigen:
1. Für a=0 gilt: <a,a>=0
2. Für [mm] a\not=0 [/mm] gilt: [mm] \ge0
[/mm]
Das erste ist trivial, muss aber der Vollständigkeit (und somit der Richtigkeit) halber notiert werden!
Das zweite ist vom Vorgehen her ähnlich wie du die Symmetrie gezeigt hast, nur dass du statt 2 verschiedene Vektoren a und b nun einfach zweimal denselben Vektor a für beide Vektoren einsetzt. Und dann musst du ausmultiplizieren und überlegen, was für die entsprechenden entstandenen Produkte der [mm] a_{i} [/mm] gilt und ob dann das Ganze [mm] \ge0 [/mm] ist!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:50 Fr 11.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Moin,
kleine Anmerkungen
> Du meinst vermutlich die Eigenschaft, dass das
> Skalarprodukt positiv definit ist?! Hat mit einem
> "Nullelement" nicht wirklich was zu tun, sondern bedeutet,
> dass für Vektoren a gilt: [mm]\ge0[/mm] und die Gleichheit,
> also <a,a>=0 genau dann erfüllt ist, wenn a=0. Das heißt
> du musst 2 Sachen zeigen:
> 1. Für a=0 gilt: <a,a>=0
> 2. Für [mm]a\not=0[/mm] gilt: [mm] \red{>}0[/mm]
Für positiv definit reicht es zu zeigen: [mm] a\neq [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] <a,a> echt positiv (>0)
<0,0>=0 folgt bereits aus Linearität:
[mm] $<0,0>=<1\cdot0+1\cdot0,0>=<0,0>+<0,0>$, [/mm] also <0,0>=0
>
> Das erste ist trivial, muss aber der Vollständigkeit (und
> somit der Richtigkeit) halber notiert werden!
Siehe oben.
> Das zweite ist vom Vorgehen her ähnlich wie du die
> Symmetrie gezeigt hast, nur dass du statt 2 verschiedene
> Vektoren a und b nun einfach zweimal denselben Vektor a
> für beide Vektoren einsetzt. Und dann musst du
> ausmultiplizieren und überlegen, was für die
> entsprechenden entstandenen Produkte der [mm]a_{i}[/mm] gilt und ob
> dann das Ganze [mm]\red{>}0[/mm] ist!
Die scharfe Relation muss gezeigt werden! 
>
>
Gruß
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wie kommst du da drauf.. das kann ich noch nicht wirklich nachvollziehen :/
$ [mm] <0,0>=<1\cdot0+1\cdot0,0>=<0,0>+<0,0> [/mm] $
wo hast du 0,0 eingesetzt und wie kommt man da auf die 1*0+1*0 ? :S
so [mm] a\not= [/mm] 0 >0 habe ich mal ausprobiert:
3 (a1a1)+ 2(a2a2)+(a3a3)
= [mm] 3(a1)^2+ 2(a2)^2+ (a3)^2 [/mm] >0
wäre das erstmal so richtig ? und wie mach ich jetzt weiter :/
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wie kommst du da drauf.. das kann ich noch nicht wirklich nachvollziehen :/
$ [mm] <0,0>=<1\cdot0+1\cdot0,0>=<0,0>+<0,0> [/mm] $
wo hast du 0,0 eingesetzt und wie kommt man da auf die 1*0+1*0 ? :S
so $ [mm] a\not= [/mm] $ 0 >0 habe ich mal ausprobiert:
3 (a1a1)+ 2(a2a2)+(a3a3)
= $ [mm] 3(a1)^2+ 2(a2)^2+ (a3)^2 [/mm] $ >0
wäre das erstmal so richtig ? und wie mach ich jetzt weiter :/
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Fr 11.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
er hat einfach 0=0*1+0*1 eingesetzt, um die Linearität zu benutzen, du kannst aber auch explizit die formel benutzen um <0,0>=0 zu zeigen.
zu der 2 ten gl. fehlt ein satz wie die einzelnen summanden sind, da Quadrate [mm] \ge0 [/mm] also >0 falls nicht alle [mm] a_i=0
[/mm]
gruss leduart
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und sonst wäre ich fertig damit ? und es wär soweit richtig ???
dann gab es noch einen weiteren aufgabenteil:
Es bezeichne || . || die durch das skalarprodukt < . , . > aus Teilaufgabe c) induzierte Norm.
i) berechnen Sie || z ||
ii) Geben sie einen Vektor v [mm] \not= [/mm] 0 an, der bezüglich < . , . > zu z orthogonal ist.
z [mm] \vektor{7 \\ 1 \\ 5 }
[/mm]
wie müsste ich da vorgeheN? :/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Fr 11.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
den ersten Teil hast du, als du <a,a> ausgerechnet hast ja schon praktisch gemacht. musst es nur noch mit z hinschreiben. und i, 2. ten teil suchst du einen Vektor x mit <z,x>=0 ( x ist nicht eindeutig!) du kannst also direkt "raten" oder rechnen.
Gruss leduart
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hmm wie meinst du das mit z und i :/
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Hallo,
> hmm wie meinst du das mit z und i :/
leduart meint, dass du bei Teilaufgabe i das Skalarprodukt <z,z> berechnen musst! Dafür kannst du das bereits berechnete <a,a> verwenden (indem du für a eben z einsetzt) oder du rechnest es einfach nochmal neu aus. Ist eh nur ein Einzeiler.
Und bei Teilaufgabe ii musst du einen Vektor v finden, der im Skalarprodukt mit z Null ergibt, da Orthogonalität bedeuetet, dass des Skalarprodukt = 0 ist. Also Suche (frei wählbaren, nur nicht Nullvektor) Vektor v, für den gilt: <z,v>=0.
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