skizze einer komplexen Zahl < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Menge aller komplexen Zahlen z mit der Eigenschaft [mm] \vmat{ \bruch{1}{z}+ \bruch{1}{\overline{z}}}\le1 [/mm] |
Ich schaffe es einfach nicht, das in ne schöne Form zu bringen, um das dann zeichnen zu können. Ich habe:
z=a+bi
[mm] \vmat{ \bruch{1}{z}+ \bruch{1}{\overline{z}}}=\vmat{ \bruch{\overline{z}*+z}{z*\overline{z}}}=\vmat{ \bruch{2a}{\vmat{z}^2}}=\vmat{ \bruch{2a}{a^2+b^2}}\le [/mm] 1
wie kann ich das günstiger darstellen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Mi 08.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Menge
> aller komplexen Zahlen z mit der Eigenschaft [mm]\vmat{ \bruch{1}{z}+ \bruch{1}{\overline{z}}}\le1[/mm]
>
> Ich schaffe es einfach nicht, das in ne schöne Form zu
> bringen, um das dann zeichnen zu können. Ich habe:
> z=a+bi
>
> [mm]\vmat{ \bruch{1}{z}+ \bruch{1}{\overline{z}}}=\vmat{ \bruch{\overline{z}*+z}{z*\overline{z}}}=\vmat{ \bruch{2a}{\vmat{z}^2}}=\vmat{ \bruch{2a}{a^2+b^2}}\le[/mm]
> 1
>
> wie kann ich das günstiger darstellen?
Es folgt:
(*) $2|a| [mm] \le a^2+b^2$
[/mm]
Fall 1: a=0. Also erfüllen alle Zahlen ib die Ungl.
Fall 2: a>0. (*) [mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le a^2-2a+1+b^2-1 \gdw [/mm] 1 [mm] \le (a-1)^2+b^2
[/mm]
was ist das geometrisch ?
Fall 3 . a<0 Mach Du mal.
FRED
>
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a<0:
[mm] -2a=a^2+b^2 \Rightarrow 1\le (a+1)^2+b^2
[/mm]
erst mal zum Verständnis: alle ib ist die ganze Im-Achse?
-> a<0 ist ein Kreis mit dem radius 1 um (-1,0) und das definitionsgebiet ist alles um den Kreis rum
-> a<0 ist ein Kreis mit dem radius 1 um (1,0) und das definitionsgebiet ist alles um den Kreis rum
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Hallo celeste16,
> a<0:
> [mm]-2a=a^2+b^2 \Rightarrow 1\le (a+1)^2+b^2[/mm]
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> erst mal zum Verständnis: alle ib ist die ganze Im-Achse?
Ja.
>
> -> a<0 ist ein Kreis mit dem radius 1 um (-1,0) und das
> definitionsgebiet ist alles um den Kreis rum
> -> a<0 ist ein Kreis mit dem radius 1 um (1,0) und das
> definitionsgebiet ist alles um den Kreis rum
Die Einschränkungen a<0 bzw a>0 mußt Du
hier schon noch berücksichtigen.
Gruss
MathePower
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ich meinte:
-> a<0 ist ein Kreis mit dem radius 1 um (-1,0)
-> a>0 ist ein Kreis mit dem radius 1 um (1,0)
muss ich da noch mehr beachten? ich dächte das ist doch schon alles in der gleichung verwurstet....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Mi 08.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist nicht ganz klar, welche Gebiete der Gaussebene du jetzt ausnimmst bzw welche die Ungleichung erfüllen, d.h. du kannst wahrscheinlich das richtige denken, hast es aber nicht ausdrücklich gesagt.
Gruss leduart
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ok. also was ich jetzt gefolgert hätte ist, dass die gesamte ebene die ungleichung erfüllt, AUßER der Inhalt 2er Kreise mit dem Radius 1 um (-1,0) und (1,0).
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Hallo celeste16,
> ok. also was ich jetzt gefolgert hätte ist, dass die
> gesamte ebene die ungleichung erfüllt, AUßER der Inhalt
> 2er Kreise mit dem Radius 1 um (-1,0) und (1,0).
>
Ja, die Folgerung ist richtig.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Mi 08.12.2010 | | Autor: | celeste16 |
sehr schön. danke
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