span() und Erzeugen. System < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Do 01.12.2011 | | Autor: | Dym |
| Aufgabe | Es seien die Vektoren [mm] v_{1}= \vektor{1 \\ 3 \\ 5} ,v_{2}= \vektor{4 \\ 5 \\ 6} ,v_{3}= \vektor{6 \\ 4 \\ 2} [/mm] , aus [mm] \IR^{3} [/mm] gegeben.
a) Was ist die Dimension von U:= [mm] span(v_{1},v_{2},v_{3})? [/mm] |
Also ich habe jetzt von den 3 Vektoren ein Erzeugendesystem gebildet und weiß nicht ob es das ist was gefragt war, meine Rechnung bis jetzt sieht so aus:
[mm] span\pmat{ \vektor{1 \\ 3 \\ 5},\vektor{4 \\ 5 \\ 6},\vektor{6 \\ 4 \\ 2} } [/mm] // [mm] v_{2}-v_{1}
[/mm]
[mm] span\pmat{ \vektor{1 \\ 3 \\ 5},\vektor{3 \\ 2 \\ 1},\vektor{6 \\ 4 \\ 2} } [/mm] // [mm] v_{3} [/mm] :2
[mm] span\pmat{ \vektor{1 \\ 3 \\ 5},\vektor{3 \\ 2 \\ 1},\vektor{3 \\ 2 \\ 1} } [/mm] // [ [mm] v_{3} [/mm] *(-1) ] + [mm] v_{2}
[/mm]
[mm] span\pmat{ \vektor{1 \\ 3 \\ 5},\vektor{3 \\ 2 \\ 1},\vektor{-3 \\ -2 \\ -1}+\vektor{3 \\ 2 \\ 1} }
[/mm]
[mm] span\pmat{ \vektor{1 \\ 3 \\ 5},\vektor{3 \\ 2 \\ 1}} [/mm] // [mm] v_{1}*-3
[/mm]
[mm] span\pmat{ \vektor{-3 \\ -9 \\ -15},\vektor{3 \\ 2 \\ 1}} [/mm] // [mm] v_{2}+v_{1}
[/mm]
[mm] span\pmat{ \vektor{-3 \\ -9 \\ -15},\vektor{0 \\ -7 \\ -14}} [/mm] // [mm] v_{1} [/mm] *-7 ; [mm] v_{2} [/mm] * 9
[mm] span\pmat{ \vektor{21 \\ 63 \\ 105},\vektor{0 \\ -63 \\ -126}} [/mm] // [mm] v_{1} [/mm] + [mm] v_{2}
[/mm]
[mm] span\pmat{ \vektor{21 \\ 0 \\ -21},\vektor{0 \\ -63 \\ -126}}
[/mm]
Ich habe nun nach dem Muster einer anderen Augabe aus der Übung folgendermaßen weitergerechnet:
[mm] span\pmat{ \vektor{21 \\ 0 \\ -21},\vektor{0 \\ -63 \\ -126}} [/mm] // Für [mm] v_{1} [/mm] teile ich Komponente 3 durch Komponente 1 [mm] (v_{1}_{x}_{3} [/mm] / [mm] v_{1}_{x}_{1}) [/mm] und für [mm] v_{2} [/mm] teile ich Komponente 3 durch Komponente 2 [mm] v_{1}_{x}_{3} [/mm] / [mm] v_{1}_{x}_{2} [/mm] somit diese Form dann:
[mm] span\pmat{ \vektor{1 \\ 0 \\ -21/21},\vektor{0 \\ -1 \\ -126/-63}}
[/mm]
[mm] span\pmat{ \vektor{1 \\ 0 \\ -1},\vektor{0 \\ -1 \\2}}
[/mm]
Bei dieser Form angelangt hat der ÜB Leiter so weitergemacht: eine Bedingung hingeschrieben: [mm] \vektor{a\\ b\\ c}\in\IR^{3}
[/mm]
und dann skalare hinzugefügt mit einer Addition:
[mm] a\vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] + [mm] b\vektor{0 \\ -1 \\2} [/mm] = (nach meiner Rechnung) = [mm] \vektor{a \\ -b \\ (c=) -a+2b}
[/mm]
<=> c=-a+2b
<=> a-2b+c=0
Probe für [mm] v_{1}= [/mm] 1-2(3)+5=0 <=> 6-6=0 w. A.
Probe für [mm] v_{2}= [/mm] 4-2(5)+6=0 <=> -6+6=0 w. A.
Probe für [mm] v_{3}= [/mm] 6-2(4)+2=0 <=> -8+8=0 w. A. heißt es also jetzt a-2b+c=0 ist mein Erzeugendesystem von [mm] v_{1},v_{2},v_{3}? [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:09 Fr 02.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich warst du schon fertig, als du hattest
$ [mm] span\pmat{ \vektor{1 \\ 3 \\ 5},\vektor{3 \\ 2 \\ 1}} [/mm] $
denn dass die 2 vektoren nicht lin abh. sind siet man direkt weil [mm] v1\ne \alpha*v2
[/mm]
danach suchst du nur noch einfachere Vektoren.
aber die Menge aller vektoren
[mm] a*\vektor{1 \\ 3 \\ 5}+b*\vektor{3 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
wären auch ein Erzeugendensystem.
ebenso deine späteren :
[mm] a*\vektor{21 \\ 0 \\ -21}+b*\vektor{0 \\ -63 \\ -126}
[/mm]
dass du das noch vereinfachen kannst
mit [mm] a*21*\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+b*(-63)\vektor{0 \\1 \\ 2}
[/mm]
ist auch richtig und damit hast du mit neuem a'=126a und neuem b'= -b*63
dein auch richtiges erzeugenden System. Es sollte dir nur klar sein ,dass die alle denselben Vektorraum erzeugen!
Dann hast du noch festgestellt, dass man alle vektoren deines VR wenn du sie als $ [mm] \vektor{a\\ b\\ c}\in\IR^{3} [/mm] $
schreibst
mit c=-a+2b beschreiben kannst. aber:
da hast du einen Fehler gemacht:
$ [mm] span\pmat{ \vektor{21 \\ 0 \\ -21},\vektor{0 \\ -63 \\ -126}} [/mm] $ // Für $ [mm] v_{1} [/mm] $ teile ich Komponente 3 durch Komponente 1 $ [mm] (v_{1}_{x}_{3} [/mm] $ / $ [mm] v_{1}_{x}_{1}) [/mm] $ und für $ [mm] v_{2} [/mm] $ teile ich Komponente 3 durch Komponente 2 $ [mm] v_{1}_{x}_{3} [/mm] $ / $ [mm] v_{1}_{x}_{2} [/mm] $ somit diese Form dann:
Man kann nicht Komponenten durcheinander dividieren. das geht zufällig beim ersten Vektor richtig aus, du kannst nur alle Komponenten durch dieselbe Zahl teilen, dadurch änderst du nur die Länge des Vektors, wie ich es oben gemacht habe. dein v2 wurde aber falsch du kannst 63 oder -63 vor den Vektor schreiben aber nicht die 3 te Komponente durch was anderes dividieren als die 2 te.
also wäarn deine richtigen einfachen erzeugenden Vektoren:
[mm] v1=\vektor{1 \\ 0 \\ -1} v2=\vektor{0 \\1 \\ 2}oder \vektor{0 \\-1 \\ -2}
[/mm]
ein Erzeugendensystem besteht aus Vektoren, die alle anderen in dem UVR erzeugen können.
natürlich kann man mit
[mm] a*\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+b*\vektor{0 \\1 \\ 2}=\vektor{a \\ b\\ -a+2b}
[/mm]
schreiben der VR wird von allen Vektoren [mm] \vektor{a \\b \\ c}
[/mm]
mit c=2b-a erzeugt
aber das ist unüblich und unpraktisch. gib lieber 2 Vektoren an, die alle anderen erzeugen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:06 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Dym |
Danke für die Antwort, hat mir sehr für das Verständnis geholfen was ich dort eigentlich gemacht habe!
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