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| Aufgabe | | Finde eine nicht ausgeartete, symmetrische Bilinearform f: [mm] R^2 [/mm] x [mm] R^2 [/mm] -> R , sodass f(x,x)=0 und x ungleich 0 ist. |
Hat irgenjemand eine Idee von einer solchen Bilinearform? ich habe es probiert mit dem skalarprodukt, dass leider nicht symmetrisch ist, und mit diversen Linearkombinationen der Komponenten der einzelnen Vektoren, aber ich scheitere entweder an der bedingung f(x,x) =0 und x ungleich 0, oder an der linearität!
Vielen Dank für produktive Vorschläge schon im voraus,
Natalie
PS: R ist bitte als der Körper der reellen Zahlen zu verstehen, und [mm] R^2 [/mm] ist "R hoch 2", also alle zweidimensionalen Vektoren mit Komponenten aus R..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Fr 24.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Natalie!
> Finde eine nicht ausgeartete, symmetrische Bilinearform f:
> [mm]R^2[/mm] x [mm]R^2[/mm] -> R , sodass f(x,x)=0 und x ungleich 0 ist.
> Hat irgenjemand eine Idee von einer solchen Bilinearform?
> ich habe es probiert mit dem skalarprodukt, dass leider
> nicht symmetrisch ist, und mit diversen Linearkombinationen
> der Komponenten der einzelnen Vektoren, aber ich scheitere
> entweder an der bedingung f(x,x) =0 und x ungleich 0, oder
> an der linearität!
Meinst du, dass die Bedingung fuer alle $x [mm] \neq [/mm] 0$ gelten soll, oder nur fuer ein $x [mm] \neq [/mm] 0$? Ersteres ist Unmoeglich (schreib dazu die allgemeine Form einer symmetrischen Bilinearform auf und setz z.B. die Vektoren $x = (1, 0)$ und $x = (0, 1)$ ein), zweiteres duerfte kein Problem sein (nimm etwa [mm] $((x_1, y_1), (x_2, y_2)) \mapsto x_1 y_2 [/mm] + [mm] x_2 y_1$)...
[/mm]
> PS: R ist bitte als der Körper der reellen Zahlen zu
> verstehen, und [mm]R^2[/mm] ist "R hoch 2", also alle
> zweidimensionalen Vektoren mit Komponenten aus R..
Und das ganze soll [mm] $\IR$-linear [/mm] sein, oder?
LG Felix
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naja, ich hab das schon so verstanden, dass es für alle x aus [mm] R^2 [/mm] gelten soll.. aber wie gesagt, entweder ich scheitere daran oder an der linearität. gibt es einen beweis, oder wie könnte ich es beweisen, dass es keine solche form geben kann?
lg,
Natalie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Sa 25.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Natalie!
> naja, ich hab das schon so verstanden, dass es für alle x
> aus [mm]R^2[/mm] gelten soll.. aber wie gesagt, entweder ich
> scheitere daran oder an der linearität. gibt es einen
> beweis, oder wie könnte ich es beweisen, dass es keine
> solche form geben kann?
Wie du einen Beweis machen kannst das es sowas nicht gibt stand doch schon in meinem Beitrag drinnen :)
Hinweis: eine allgemeine, symmetrische Bilinearform auf [mm] $\IR^2$ [/mm] hat die Form [mm] $((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \mapsto a_1 x_1 y_1 [/mm] + [mm] a_2 x_2 y_2 [/mm] + b [mm] (x_1 y_2 [/mm] + [mm] x_2 y_1)$ [/mm] mit [mm] $a_1, a_2, [/mm] b [mm] \in \IR$. [/mm] Und jetzt setz mal die Vektoren ein die ich vorgeschlagen hatte... (Und dann noch den Vektor $(1, 1)$.)
LG Felix
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