spezielle Matrix konstruieren < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Fr 23.10.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Konstruieren Sei eine Matrix, deren Spaltenraum [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} [/mm] und [mm] \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} [/mm] enthält und deren Nullraum [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} [/mm] und [mm] \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} [/mm] enthält. |
Hallo,
die Matrix wäre eine 3x3-Matrix, wegen dem Spaltenraum würde dies so aussehen:
A = [mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 & a \\
1 & 1 & b \\
0 & 1 & c
\end{bmatrix}
[/mm]
Wegen dem Nullraum müssten zwei folgende Bedingungen erfüllt sein:
[mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 & a \\
1 & 1 & b \\
0 & 1 & c
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} [/mm] und [mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 & a \\
1 & 1 & b \\
0 & 1 & c
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
[/mm]
Daraus folgt nun:
1.
1+a = 0 -> a = -1
1+b = 0 -> b = -1
c = 0
2.
a = 0
b = 0
c = 0
Zwei unteschiedliche Bedingungen, dies sieht man auch so auf Anhieb:
[mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 & a \\
1 & 1 & b \\
0 & 1 & c
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}, [/mm] bedeutet nichts anderes als, 0 mal erste Spalte + 0 mal zwei Spalte + 1 mal dritte Spalte = 0
Wie komme ich denn nun weiter? In diesem Fall, ist der Nullraum doch eine Ebene?
Gruß
itse
|
|
| |
|
> Konstruieren Sei eine Matrix, deren Spaltenraum
> [mm]\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}[/mm] und
> [mm]\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}[/mm] enthält und
> deren Nullraum [mm]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}[/mm]
> und [mm]\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}[/mm] enthält.
> Hallo,
>
> die Matrix wäre eine 3x3-Matrix,
Hallo,
ja.
> wegen dem Spaltenraum
> würde dies so aussehen:
Ich würde sagen: Könnte sie so aussehen.
Denn es ist ja nicht zwingend festgelegt, daß die basisvektoren des Spaltenraumes in den ersten beiden Spalten zu finden sind,
ebenso ist es nicht gesagt, daß in den Spalten ausgerechnet [mm]\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}[/mm] und [mm]\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}[/mm] stehen.
Es könnte auch eine andere basis desselben Raumes dort zu finden sein.
>
> A = [mm]\begin{bmatrix}
1 & 0 & a \\
1 & 1 & b \\
0 & 1 & c
\end{bmatrix}[/mm]
>
> Wegen dem Nullraum müssten zwei folgende Bedingungen
> erfüllt sein:
>
> [mm]\begin{bmatrix}
1 & 0 & a \\
1 & 1 & b \\
0 & 1 & c
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}[/mm] und
> [mm]\begin{bmatrix}
1 & 0 & a \\
1 & 1 & b \\
0 & 1 & c
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}[/mm]
>
> Daraus folgt nun:
>
> 1.
> 1+a = 0 -> a = -1
> 1+b = 0 -> b = -1
> c = 0
>
> 2.
> a = 0
> b = 0
> c = 0
>
> Zwei unteschiedliche Bedingungen, dies sieht man auch so
> auf Anhieb:
>
> [mm]\begin{bmatrix}
1 & 0 & a \\
1 & 1 & b \\
0 & 1 & c
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix},[/mm]
> bedeutet nichts anderes als, 0 mal erste Spalte + 0 mal
> zwei Spalte + 1 mal dritte Spalte = 0
>
> Wie komme ich denn nun weiter? In diesem Fall, ist der
> Nullraum doch eine Ebene?
Tja, sieht schlecht aus...
Du wirst keine a,b,c finden, für die sowohl 1. als auch 2. gelten.
Ich weiß nun nicht, was Dir zur Verfügung steht.
Es gilt für nxn-Matrizen A: dimC(A)+dimN(A)=n.
Nun ist Deine Vorgabe so, daß [mm] dimC(A)\ge [/mm] 2 und [mm] dimN(a)\ge [/mm] 2, so daß man schon hier sieht, daß es keine Lösung geben kann.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:11 Sa 24.10.2009 | | Autor: | itse |
Guten Morgen,
laut Buch soll die Lösung: $ [mm] \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/mm] $ sein.
Wie kommt man da drauf oder ist dies auch falsch? Zudem sind es vier Spalten, das kann doch gar nicht gehen, die Vektoren haben doch nur 3 Zeilen.
Gruß
itse
|
|
|
| |
|
> Guten Morgen,
>
> laut Buch soll die Lösung: [mm]\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/mm]
> sein.
Hallo,
hierfür müßte die Aufgabenstellung anders lauten.
Es ist ja angegeben, daß der Nullraum (u.a) zwei Vektoren des [mm] \IR^3 [/mm] enthält.
Von daher kann die Lösung keine [mm] \red{4}x3-Matrix [/mm] sein.
Der Spaltenraum dieser matrix wird aufgespannt von [mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\1},
[/mm]
der Nullraum von [mm] \vektor{1\\0\\0\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\0\\1\\0}, [/mm] oder meinetwegen auch von [mm] \vektor{1\\0\\1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\0\\1\\0}.
[/mm]
Es ist wohl bei der Aufgabenstellung die letzte Komponente vergessen worden.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
